[논문 리뷰] A Non-Nested Multilevel Method for Meshless Solution of the Poisson Equation in Heat Transfer and Fluid Flow

Anand Radhakrishnan, Michael Xu외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 28.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 69인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 열전달 및 유체 흐름에서 포아송 방정식을 해결하기 위해 다항식 보정을 포함한 다항함수 라디얼 기저 함수(PHS-RBF)를 사용하는 비중첩 다수준 메쉬리스 방법을 제시한다. 이 방법은 독립적으로 생성된 굴곡된 격자점 집합 간에 RBF 기반 보간을 사용하여 제한 및 확장 연산을 수행하며, 특히 모든 노이만 경계 조건에서 GMRES와 결합할 경우 빠른 수렴을 달성한다. 이는 이산화 오차가 지수적으로 감소하고 복잡한 기하구조에서 강인한 성능을 보여준다.

ABSTRACT

We present a non-nested multilevel algorithm for solving the Poisson equation discretized at scattered points using polyharmonic radial basis function (PHS-RBF) interpolations. We append polynomials to the radial basis functions to achieve exponential convergence of discretization errors. The interpolations are performed over local clouds of points and the Poisson equation is collocated at each of the scattered points, resulting in a sparse set of discrete equations for the unkown variables. To solve this set of equations, we have developed a non-nested multilevel algorithm utilizing multiple independently generated coarse sets of points. The restriction and prolongation operators are also constructed with the same RBF interpolations procedure. The performance of the algorithm for Dirichlet and all-Neumann boundary conditions is evaluated in three model geometries using a manufactured solution. For Dirichlet boundary conditions, rapid convergence is observed using SOR point solver as the relaxation scheme. For cases of all-Neumann boundary conditions, convergence is seen to slow down with the degree of the appended polynomial. However, when the multilevel procedure is combined with a GMRES algorithm, the convergence is seen to significantly improve. The GMRES accelerated multilevel algorithm is included in a fractional step method to solve incompressible Navier-Stokes equations.

연구 동기 및 목표

• 비중첩 격자를 요구하지 않는 메쉬리스 다수준 스토리지 해법을 개발하여 복잡한 기하구조에서 포아송 방정식을 해결한다.
• 메쉬리스 RBF 이산화에서 모든 노이만 경계 조건에 대해 점 반복 해법(SOR)의 열악한 수렴 성능을 해결한다.
• RBF 보간과 다항식 보정을 통해 고차 정확도와 효율적인 해법을 실현한다.
• 비압축성 나비에-스토크스 방정식에 대한 분할 단계 방법에 이 방법을 구현한다.
• 미래 작업으로 3차원 및 병렬 아키텍처로의 확장을 계획한다.

제안 방법

• 고차 다항식 보정을 포함한 다항함수 라디얼 기저 함수(PHS-RBF)를 사용하여 포아송 방정식을 이산화함으로써 이산화 오차에서 지수 수렴을 달성한다.
• 산산이 흩어진 점 구름을 기반으로 RBF를 사용해 局부 보간을 수행하여 각 점에서 PDE를 콜로케이션화하고 희소 선형 시스템을 구성한다.
• 독립적으로 생성된 비중첩 굴곡된 점 집합을 사용하여 격자 세분화 의존성을 피한다.
• 미세 수준과 굴곡된 수준 간에 제한 및 확장 연산자 모두 RBF 기반 보간을 사용한다.
• 디리클레 문제에 대해서는 SOR을 스무스러이 사용하고, 모든 노이만 문제에 대해서는 다수준 조건부 조건을 갖춘 GMRES를 사용한다.
• 비압축성 유동 시뮬레이션의 분할 단계 방법에서 압력 포아송 방정식을 해석하기 위해 다수준 조건부 조건이 있는 GMRES를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RBF 보간을 사용하는 비중첩 다수준 방법이 메쉬리스 포아송 방정식 이산화에서 복잡한 영역에서 최적의 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 왜 표준 SOR 반복 해법은 RBF 기반 메쉬리스 방법에서 모든 노이만 경계 조건에 대해 강인하게 수렴하지 못하는가?
• RQ3 PHS-RBF에서 다항식 차수는 조건수와 반복 해법의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 GMRES를 사용한 다수준 조건부 조건이 높은 조건수에도 불구하고 모든 노이만 문제에 대해 강인한 수렴을 복원할 수 있는가?
• RQ5 다수준 RBF 방법은 비압축성 유동 시뮬레이션에서 압력 포아송 방정식에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 디리클레 경계 조건에서는 SOR 기반 다수준 방법이 모든 테스트 기하구조와 다항식 차수에서 빠른 수렴을 달성한다.
• 모든 노이만 경계 조건에서는 다항식 차수가 증가함에 따라 순수 SOR 수렴 성능이 악화되며, 이는 조건수가 증가하기 때문이다.
• GMRES 가속 다수준 방법은 고차 다항식 차수에서도 모든 노이만 문제에 대해 빠르고 강인한 수렴을 달성한다.
• 점 간격 감소에 따라 이산화 오차가 지수적으로 감소하며, 다항식 차수 l에 대해 최소 (l−1)차 정확도를 확보함을 제조 솔루션 테스트로 입증하였다.
• 이 방법은 약 10,000개의 산산이 흩어진 점을 사용하여 코바즈니 흐름과 동심 원통 사이의 유동에서 분할 단계 방법의 압력 포아송 방정식을 성공적으로 해석하였다.
• 다수준 조건부 조건자는 근사 격자 독립성 수렴을 유지하며, 비중첩 격자임에도 불구하고 효과적인 다수준 기법임을 시사한다.