[논문 리뷰] A non-smooth continuous unitary representation of a Banach-Lie group

Daniel Beltiţă, Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|2008. 11. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $ L^2([0,1],\mathbb{R}) $의 바나흐-리 군에 대한 연속적인 유니터리 표현을 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 위에서 $ e^{if} $에 의한 곱셈을 통해 구성한다. 이 표현은 연속성에도 불구하고 매끄러운 벡터의 공간이 자명하다는 것을 보여준다. 주요 기여는 무한차원 리 군의 유니터리 표현에서 연속성이 매끄러움을 암시하지는 않음을 증명한 것이다. 이는 아벨 바나흐-리 군 설정에서도 성립한다.

ABSTRACT

In this note we show that the representation of the additive group of the Hilbert space $L^2([0,1],\R)$ on $L^2([0,1],\C)$ given by the multiplication operators $π(f) := e^{if}$ is continuous but its space of smooth vectors is trivial. This example shows that a continuous unitary representation of an infinite dimensional Lie group need not be smooth.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리 군의 연속적인 유니터리 표현이 반드시 조밀한 매끄러운 벡터 부분공간을 갖는지 조사하기.
• 무한차원 리 군 표현의 맥락에서 연속성이 매끄러움을 암시한다는 가정을 도전하기.
• 덧셈군 $ L^2([0,1],\mathbb{R}) $가 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 위에서 곱셈 연산자로 작용하는 구체적 반례를 구성하기.
• 이 표현에 대한 매끄러운 벡터 공간이 자명함을 증명하기, 비록 표현이 연속적임에도 불구하고.

제안 방법

• 표현 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $를 $ \mathcal{H} = L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 위에서 정의하며, $ f \in L^2([0,1],\mathbb{R}) $이다.
• 유계인 $ \xi $에 대해 궤도 함수 $ \pi(\cdot)\xi $의 연속성을 보이고, 이를 조밀성에 의해 확장한다.
• 각 $ \lambda \in [0,1] $에 대해 $ f_\lambda(t) = |t - \lambda|^{-1/4} $의 함수족을 도입하며, 이는 표현의 일매개변수부하군을 생성한다.
• 각 일매개변수부하군에 대한 매끄러운 벡터를 $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $가 모든 $ n \in \mathbb{N} $에 대해 성립하는 $ \xi $로 특성화한다.
• 모든 $ \lambda \in [0,1] $에 대해 이러한 매끄러운 벡터 공간의 교차가 자명함을 모순을 통해 증명한다. 이는 $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $가 모든 $ \lambda $에 대해 성립한다고 가정할 때이다.
• 리만 점과 측도 이론적 추정을 사용하여 $ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $의 모순적인 점근적 경계를 유도하며, 이는 $ \xi \neq 0 $이면 불가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 바나흐-리 군의 모든 연속적인 유니터리 표현이 조밀한 매끄러운 벡터 부분공간을 갖는가?
• RQ2 아벨 바나흐-리 군의 연속적인 유니터리 표현이 매끄럽지 않게 될 수 있는가?
• RQ3 무한차원 리 군의 유니터리 표현에서 비자명한 매끄러운 벡터의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 표현 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $에 대한 매끄러운 벡터 공간이 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $에서 자명한가?

주요 결과

• 표현 $ \pi(f)\xi = e^{if}\xi $는 $ L^2([0,1],\mathbb{C}) $ 위에서 연속적임을 보였다. 이는 유계인 $ \xi $에 대해 궤도 함수의 연속성과 조밀성 추론에 의해 입증된다.
• 이 표현에 대한 매끄러운 벡터 공간은 자명하다: $ \mathcal{H}^\infty = \{0\} $, 즉 비자명한 매끄러운 벡터가 존재하지 않는다.
• 각 $ \lambda \in [0,1] $에 대해, 일매개변수부하군 $ \pi_\lambda(t)\xi = e^{itf_\lambda}\xi $의 매끄러운 벡터는 $ f_\lambda^n \xi \in L^2 $가 모든 $ n \in \mathbb{N} $에 대해 성립할 때 정확히 존재한다.
• 만약 $ \xi \in L^2 $가 모든 $ \lambda \in [0,1] $에 대해 $ f_\lambda^4 \xi \in L^2 $를 만족한다면, $ \xi = 0 $임을 리만 점과 측도 추정을 사용한 모순을 통해 증명하였다.
• 모순은 $ \int_{\lambda-h}^{\lambda+h} |t - \lambda|^{-1} \chi_M(t) \, dt $의 추정에서 발생한다: 한 경계는 $ h \to 0 $일 때 0으로 수렴하고, 다른 경계는 2로 수렴한다. 이는 $ M $의 측도가 양수일 경우 불가능하다.