[논문 리뷰] A non-smooth trust-region method for B-differentiable functions with application to optimization problems constrained by variational inequalities

Constantin Christof, Juan Carlos De los Reyes외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 08.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 16인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 B-다른 함수를 포함하는 최적화 문제, 특히 제2종 변분부등식으로 제약된 문제를 해결하기 위한 비미분 가능 신뢰역할 방법을 제안한다. 감소된 목적함수의 부울리앙드 하위미분을 특성화함으로써, 적절한 가정 하에 C-정류점으로 수렴하는 계산 가능한 신뢰역할 모델을 구성한다.

ABSTRACT

We propose a non-smooth trust-region method for solving optimization problems with B-differentiable functions, with application to problems constrained by variational inequalities of the second kind. Under suitable assumptions on the model functions, convergence of the general algorithm to a C-stationary point is verified. For variational inequality constrained problems, we are able to properly characterize the Bouligand subdifferential of the reduced cost function and, based on that, we propose a computable trust-region model which fulfills the convergence hypotheses of the general algorithm. The article concludes with the experimental study of the main properties of the proposed method based on two different numerical instances.

연구 동기 및 목표

• B-다른 함수를 위한 특화된 신뢰역할 방법을 개발하기 위해.
• 비미분 가능성과 비볼록성으로 인해 도전적인 제2종 변분부등식으로 제약된 최적화 문제를 다루기 위해.
• 이러한 제약 조건이 있는 문제에서 감소된 목적함수의 부울리앙드 하위미분을 특성화하기 위해.
• 일般 알고리즘의 수렴 조건을 만족하는 계산 가능한 신뢰역할 모델을 설계하기 위해.
• 두 가지 테스트 사례에 대한 수치 실험을 통해 방법의 성능을 검증하기 위해.

제안 방법

• 비미분 가능하고 B-다른 함수를 위한 특화된 신뢰역할 프레임워크를 사용한다.
• 감소된 목적함수의 부울리앙드 하위미분을 이용해 모델 함수를 구성한다.
• 신뢰역할 하위문제는 충분한 감소를 보장하고 곡률 조건을 만족하는 모델을 사용하여 해결한다.
• 모델 함수에 대한 표준 가정 하에 C-정류점으로의 수렴이 보장된다.
• 부울리앙드 하위미분에 대한 명시적 표현을 유도함으로써 변분부등식 제약 조건에 특화된 방법을 설계한다.
• 하위미분 특성화에 기반하여 실용적 구현이 가능한 계산 가능한 신뢰역할 모델을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비미분 가능 신뢰역할 방법은 B-다른 함수 최적화 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 변분부등식 제약 조건이 있는 문제에서 감소된 목적함수의 부울리앙드 하위미분은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 이 맥락에서 신뢰역할 방법이 C-정류점으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 수렴 가정을 만족하는 계산 가능한 신뢰역할 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 대표적인 테스트 문제에서 이 방법의 수치적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 적절한 모델 함수에 대한 가정 하에 제안된 신뢰역할 방법은 C-정류점으로 수렴한다.
• 변분부등식 제약 조건이 있는 문제에서 감소된 목적함수의 부울리앙드 하위미분이 명시적으로 특성화된다.
• 하위미분 특성화에 기반하여 실용적 구현이 가능한 계산 가능한 신뢰역할 모델이 유도된다.
• 수치 실험을 통해 방법이 비미분 가능성과 수렴 행동을 두 테스트 사례에서 효과적으로 다룰 수 있음을 보여준다.
• 비볼록성과 비미분 가능성으로 인한 도전 과제를 효과적으로 해결한다.