[논문 리뷰] A non-stable C*-algebra with an elementary essential composition series

Saeed Ghasemi, Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능하고 안정적인 아이디얼들의 비가чёт수인 순서수 $\omega_1$ 길이의 순차적 극한으로 구성된 비안정적인 AF $C^*$-대수를 제시한다. 각 몫은 $\mathcal{K}(\ell_2)$와 동형이며, 이는 비분리적 상황에서 안정성의 유지가 실패함을 보여준다. 주요 기여는 길이 $\omega_1$인 원소적 본질적 성분렬을 가지며, 모든 연속 몫이 $\mathcal{K}(\ell_2)$와 동형인 GCR, 산란된 $C^*$-대수이지만, $\mathcal{K}(\ell_2)$와의 텐서곱과 동형이 아니며, 모든 초기 아이디얼이 안정적임에도 불구하고 안정적이지 않다.

ABSTRACT

A C*-algebra $A$ is said to be stable if it is isomorphic to $A \otimes K(\ell_2)$. Hjelmborg and Rørdam have shown that countable inductive limits of separable stable C*-algebras are stable. We show that this is no longer true in the nonseparable context even for the most natural case of an uncountable inductive limit of an increasing chain of separable stable and AF ideals: we construct a GCR, AF (in fact, scattered) subalgebra $A$ of $B(\ell_2)$, which is the inductive limit of length $ω_1$ of its separable stable ideals $I_α$ ($α

연구 동기 및 목표

• 분리 가능하고 안정적인 $C^*$-대수들의 비가чёт수인 순차적 극한에서 안정성이 유지되지 않는다는 것을 보여주는 것, 즉 AF 및 GCR의 맥락에서도 마찬가지임을 입증하는 것.
• 길이 $\omega_1$인 원소적 본질적 성분렬을 가지며, 모든 연속 몫이 $\mathcal{K}(\ell_2)$와 동형인 $C^*$-대수를 구성하는 것.
• 이러한 대수에서 안정적인 아이디얼의 집합이 최대 원소를 가지지 않음을 보여, 안정성에 대한 구조적 장애를 밝혀내는 것.
• Hjelmborg와 Rørdam의 안정성 결과가 비분리적 경우로 확장되지 않음을 보여주는 반례를 확립하는 것.

제안 방법

• 분리 가능하고 안정적인 AF-아이디얼 $\mathcal{I}_\alpha$의 순서수 $\omega_1$ 길이의 전순서적 극한으로 $\mathcal{B}(\ell_2)$의 $C^*$-부분대수 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}(\ell_2)$를 구성한다.
• 각 몫 $\mathcal{I}_{\alpha+1}/\mathcal{I}_\alpha \cong \mathcal{K}(\ell_2)$가 되도록 보장하여 원소적 본질적 성분렬을 형성한다.
• $B(\ell_2)$ 내의 연산자 수열을 이용하여 거의 행렬 단위의 루진 블록 구조를 지배하는 표현을 사용한다.
• 콤���트 편향과 거의 행렬 단위를 포함한 노름 추정 및 프로젝션 높이 분석을 통해 모순을 유도하는 방법을 적용한다.
• 거의 행렬 단위 시스템의 루진 성질을 활용하여, $R_\alpha Q_\beta$의 노름이 0임을 모순시키는 노름 하한을 도출한다.
• 안정적 경우에서의 동형 $\mathcal{A} \cong \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$를 활용하여, 서로 수직인 지지집합과 제어 가능한 높이를 가지는 프로젝션 수열을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능하고 안정적인 $C^*$-대수의 안정성은 비가чёт수인 순차적 극한에서 유지되는가?
• RQ2 길이 $\omega_1$인 원소적 본질적 성분렬과 몫이 $\mathcal{K}(\ell_2)$와 동형인 $C^*$-대수는 안정적이지 않을 수 있는가?
• RQ3 모든 진부분이디얼이 안정적이고 길이 $\omega_1$인 사슬을 이루는 비안정적인 $C^*$-대수는 존재하는가?
• RQ4 두 비동형의 산란된 $C^*$-대수는 $\omega_1$까지의 성분렬이 동형인데, 유일하게 마지막 단계에서만 다를 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 $C^*$-대수 $\mathcal{A}$는 분리 가능하고 안정적인 아이디얼들의 순차적 극한이지만, GCR, AF, 산란된 $C^*$-대수이지만 안정적이지 않다.
• $\mathcal{A}$는 $\mathcal{I}_{\alpha+1}/\mathcal{I}_\alpha \cong \mathcal{K}(\ell_2)$를 모든 $\alpha < \omega_1$에 대해 만족하는 원소적 본질적 성분렬 $(\mathcal{I}_\alpha)_{\alpha \leq \omega_1}$을 가진다.
• $\mathcal{A}$의 모든 진부분이디얼은 어떤 $\alpha < \omega_1$에 대해 $\mathcal{I}_\alpha$의 형태를 가지므로, 안정적인 아이디얼의 집합은 최대 원소를 가지지 않는다.
• $\mathcal{A}$는 $\mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$와 동형이 아니며, 이는 $\mathcal{A}$가 안정적이지 않음을 증명한다.
• 안정적인 $C^*$-대수 $\mathcal{A}' = \mathcal{A} \otimes \mathcal{K}(\ell_2)$는 $\mathcal{I}_\alpha$와 동형인 아이디얼을 가지며, 이는 비동형의 대수들이 $\omega_1$까지의 성분렬은 동형인다는 것을 보여준다.
• 증명의 모순은 노름 추정에서 기인한다: 루진 성질은 $\|(A_\alpha + F)(B_\beta + G)\| > 3\varepsilon$를 강제하며, 이는 $\|R_\alpha Q_\beta\| = 0$와 모순된다.