[논문 리뷰] A non-type (D) operator in c0

Orestes Bueno, B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 11.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 $c_0$에서 최초로 비타입 (D) 최대단조연산자를 구성하여, $\ell^1$ 또는 $L^1$의 등거리 복사본을 포함하는 공간으로의 제약에 관한 오랫동안 남아있던 추측을 해결한다. $\ell^1$에서의 고즈네의 연산자와 $c_0$에서의 쌍대 연산자를 이용함으로써, 저자들은 $c_0$가 타입 (D)가 아니라는 것을 증명하고, 등거리 복사본을 포함하는 임의의 바나흐 공간도 비타입 (D) 연산자를 가짐을 추가로 보여준다.

ABSTRACT

Previous examples of non-type (D) maximal monotone operators were restricted to $\ell^1$, $L^1$, and Banach spaces containing isometriccopies of these spaces. This fact led to the conjecture that non-type (D) operators were restricted to this class of Banach spaces. We present a linear non-type (D) operator in $c_0$.

연구 동기 및 목표

• 비반사적 바나흐 공간이 타입 (D)일 조건이 $\ell^1$ 또는 $L^1$의 등거리 복사본을 포함하는 데로 국한된다는 추측을 반박하기 위해.
• 타입 (D)가 아닌 최대단조연산자의 구체적 예를 $c_0$에서 구성하기 위해.
• 등거리 임bedding을 통한 더 큰 바나흐 공간으로의 전파가 비타입 (D) 연산자 존재 성질을 유지하는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 선형적이고 연속적이며 반대칭적인 연산자 $G: \ell^1 \to \ell^\infty$를 $G(x)_n = \sum_{i=n+1}^\infty x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i$ 로 정의하여, 이것이 최대단조적이며 단사임을 알고 있다.
• 다음으로 $T: c_0 \rightrightarrows \ell^1$ 을 $T(x) = \{ y \in \ell^1 \mid -G(y) = x \}$ 로 정의함으로써, $c_0$에서의 점대점이고 최대단조인 쌍대 연산자를 구성한다.
• 그리고 $T$가 타입 (D)가 아님을 보이기 위해, $T$의 고즈네 단조폐쇄 $\widetilde{T}$ 가 $\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 강한 위상에서 $\operatorname{Gr}(T)$ 의 유계 넷으로 근사될 수 없는 점 $(x^{**}, x^*) \in X^{**} \times X^*$ 를 포함함을 보여, $T$ 가 타입 (D)가 아님을 증명한다.
• 특정한 넷 $\{x^\tau\}$ 이 이중쌍대 공간에 존재하여, $\widetilde{y} \in \ell^1$ 이 $\langle \widetilde{y}, e \rangle > 0$ 를 만족할 때 $(x^\tau, \tau \widetilde{y}) \in \widetilde{T}$ 임을 이용하고, 서로 다른 확장이 존재함을 보여, 유일성 위반과 함께 비타입 (D) 상태를 유도한다.
• 일반적인 확장 정리를 적용하여, 만약 $X$ 가 비타입 (D) 연산자를 가진다면, $X$ 의 등거리 복사본을 포함하는 임의의 바나흐 공간 $\Omega$ 도 그러한 연산자를 가짐을 보여준다.
• 등거리 복사본의 존재를 이용하여 $c_0$와 $\ell^1$ 간의 쌍대성과 쌍대 공간의 구조를 활용하여, 구성된 연산자 $T$ 가 비타입 (D) 상태를 만족시키기 위한 필요 조건을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등거리 복사본을 포함하지 않는 공간인 $c_0$에서 비타입 (D) 최대단조연산자가 존재하는가?
• RQ2 모든 비반사적 공간이 $\ell^1$-복사본이 없으면서도 타입 (D)여야 한다는 추측은 참일 수 있는가, 특히 $c_0$의 경우에 대해?
• RQ3 비타입 (D) 연산자 존재 성질이 더 큰 바나흐 공간으로의 등거리 임베딩을 통해 유지되는가?
• RQ4 비반사적 공간에서 고즈네의 단조폐쇄가 유일한 최대단조 확장이 아닐 수 있는가?
• RQ5 쌍대 공간의 구조는 최대단조연산자가 타입 (D)인지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ6 비반사적 바나흐 공간에서 비타입 (D) 연산자를 체계적으로 구성할 수 있는 방법이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $c_0$에서 타입 (D)가 아닌 최대단조연산자 $T: c_0 \rightrightarrows \ell^1$ 을 구성하여, 이는 $c_0$에서 최초의 그러한 예시이다.
• 연산자 $T$ 는 $\ell^1$에서의 고즈네의 알려진 비타입 (D) 연산자 $G$ 에 대한 $-G$ 의 역상으로 정의된다.
• 고즈네 단조폐쇄 $\widetilde{T}$ 가 $\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 강한 위상에서 $\operatorname{Gr}(T)$ 의 유계 넷으로 근사될 수 없는 점 $(x^{**}, x^*)$ 를 포함하므로, $T$ 는 타입 (D)가 아님을 보였다.
• 특정한 넷 $\{x^\tau\}$ 을 통해 $\ell^\infty$ 로의 서로 다른 최대단조 확장이 존재함을 보여, 확장의 비유일성과 함께 비타입 (D) 상태를 유도하였다.
• 논문은 $c_0$의 등거리 복사본을 포함하는 임의의 바나흐 공간 $\Omega$ 도 비타입 (D) 최대단조연산자를 가짐을 증명하여, 결과를 $c_0$ 자체를 넘어서 확장하였다.
• 이 결과는 비반사적 공간이 $\ell^1$-복사본이 없더라도 반드시 타입 (D)여야 한다는 추측을 반박하였으며, 이러한 공간이 여전히 비타입 (D) 연산자를 가질 수 있음을 보여주었다.