[논문 리뷰] A Nonlinear Finite Element Heterogeneous Multiscale Method for the Homogenization of Hyperelastic Solids and a Novel Staggered Two-Scale Solution Algorithm

Bernhard Eidel, Andreas Fischer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Composite Material Mechanics참고 문헌 64인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기하 비선형성을 고려한 초탄성 고체를 위한 비선형 유한요소 이질다중스케일 방법(FE-HMM)을 제시하며, 중첩 뉴턴 반복 대신 마이크로 및 마크로 해를 직접 번갈아 풀이하는 새로운 스테이지화된 이중스케일 알고리즘을 도입한다. 새로운 알고리즘은 3차원 문제에서 최대 2.0배의 속도 향상을 달성하면서도 수렴성은 유지하며, 선형 FE-HMM에서의 사전 오차 추정치가 비선형 영역에서도 검증되어 선형 경우와 유사한 수렴 속도를 보인다.

ABSTRACT

In this paper we address three aspects of nonlinear computational homogenization of elastic solids by two-scale finite element methods. First, we present a nonlinear formulation of the finite element heterogeneous multiscale method FE-HMM in a Lagrangean formulation that covers geometrical nonlinearity and, more general, hyperelasticity. Second, a-priori estimates of FE-HMM, which exist so far only for the fully linear elastic case in solid mechanics, are assessed in the regime of nonlinear elasticity. The measured convergence rates agree fairly well with those of the fully linear regime. Third, we revise the standard solution algorithm of FE$^2$ which is a staggered scheme in terms of a nested loop embedding the full solution of the micro problem into one macro solution iteration step. We demonstrate that suchlike staggered scheme, which is typically realized by a nested two-level Newton algorithm, can safely and efficiently be replaced by direct alternations between micro and macro iterations. The novel algorithmic structure is exemplarily detailed for the proposed nonlinear FE-HMM, its efficiency is substantiated by a considerable speedup in numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 기하 비선형성을 고려한 라그랑주 프레임에서 초탄성 고체의 비선형 FE-HMM 수식을 개발하는 것.
• 선형 FE-HMM에서 유도된 기존의 사전 오차 추정치가 비선형 초탄성 영역에서 유효한지 평가하는 것.
• 표준 중첩 뉴턴 반복 기반의 스테이지화된 해법을 개선하여 이중스케일 유한요소 방법의 계산 효율성을 향상시키는 것.
• 각 마크로 단계에서 마이크로 문제를 완전히 수렴시키지 않고도 마이크로 및 마크로 반복을 직접 번갈아 적용하는 것이 기존 방법보다 더 효율적이고 안정적인지 보여주는 것.

제안 방법

• 기하 비선형성과 재료 비선형성을 다룰 수 있도록 총 라그랑주 설정에서 비선형 FE-HMM을 수립한다.
• 대표체적 요소(RVEs)를 사용하여 마이크로 스케일 유한요소 해를 통해 효과적 재료 특성을 계산한다.
• 기존의 중첩 이중수준 뉴턴 기반 알고리즘을 대체하기 위해 마이크로 및 마크로 반복을 직접 번갈아 적용하는 새로운 스테이지화된 해법 알고리즘을 도입한다.
• 각 마크로 반복 단계에서 마이크로 문제를 완전히 수렴시키지 않음으로써 계산 비용을 감소시키면서도 수렴성을 유지한다.
• 선형 FE-HMM에서 유도된 사전 오차 추정치를 비선형 설정에서 수치적으로 검증하여 초탄성 조건에서의 수렴 특성을 평가한다.
• 수치 벤치마크로는 네오-후크 및 선형 탄성 재료를 사용한 2차원 및 3차원 문제를 사용하며, 다양한 메쉬 정밀도를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 FE-HMM에서 유도된 사전 오차 추정치가 비선형 초탄성 영역으로 신뢰성 있게 확장될 수 있는가?
• RQ2 비선형 영역에서 FE-HMM의 수렴 특성은 선형 경우와 동일한 수렴 속도를 보이는가?
• RQ3 이중스케일 FEM에서 표준 중첩 뉴턴 알고리즘이 완전히 수렴된 마이크로 해를 요구하지 않는 직접 번갈아 적용 기반의 해법으로 대체될 수 있는가, 수렴성이나 정확도에 영향을 주지 않는가?
• RQ4 비선형 동질화에서 중첩 뉴턴 반복을 번갈아 마이크로-마크로 업데이트로 대체할 경우 어떤 성능 향상이 기대되는가?
• RQ5 2차원 및 3차원 문제에서 큰 하중 단계와 다양한 메쉬 정밀도 조건에서도 제안된 알고리즘이 안정적인가?

주요 결과

• 비선형 초탄성 영역에서의 수렴 속도는 선형 경우와 거의 동일하여, 비선형 조건에서도 사전 오차 추정치의 신뢰성과 안정성을 확인한다.
• 제안된 스테이지화된 알고리즘은 3차원 시뮬레이션에서 1.7에서 2.0의 속도 향상을 달성하며, 네오-후크 문제에서 더 미세한 마이크로 메쉬를 사용할수록 더 높은 성능 향상을 보인다.
• 다양한 메쉬 조합에서 평균적으로 1.8 초과의 속도 향상이 관찰되었으며, 큰 하중 단계 조건에서도 수렴 안정성에 영향을 주지 않았다.
• 2차원에서 관찰된 최소 속도 향상은 1.05, 3차원에서는 1.7로, 느려짐의 위험 없이 일관된 성능 향상이 이루어짐을 시사한다.
• 새로운 알고리즘은 구현이 간단하며, 각 마크로 반복 단계에서 마이크로 해를 완전히 수렴시킬 필요가 없어 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 이 방법은 FE2 및 기타 이중스케일 방법으로도 적용 가능하며, 복합 또는 비탄성 문제에 대한 광범위한 응용 가능성이 있다.