[논문 리뷰] A nonlinear Stokes-Biot model for the interaction of a non-Newtonian fluid with poroelastic media I: well-posedness of the model

Ilona Ambartsumyan, Vincent J. Ervin외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비뉴턴 유체 흐름을 스토크스 방정식을 통해 비선형적으로 연결하고, 정적 비토 모델로 제어되는 다孔성 탄성체를 고려하여 비선형 스토크스-비토 모델을 제안한다. 특히 점성 감소 유체에 초점을 맞추며, 두 가지 다른 설정에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립하여 복잡한 매질 내 유체-다孔성 탄성체 상호작용에 대한 엄밀한 수학적 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We propose and analyze a model for solving the coupled problem arising in the interaction of a free fluid with a poroelastic medium. The flow in the fluid region is described by the Stokes equations and in the poroelastic medium by the quasi-static Biot model. The focus of the model is on quasi-Newtonian fluids that exhibit a shear-thinning property. We establish existence and uniqueness of the solution for two alternative formulations of the proposed model.

연구 동기 및 목표

• 비뉴턴 유체와 다孔성 탄성체 간의 상호작용을 수학적으로 모델링하는 것, 특히 점성 감소 거동에 중점을 두는 것.
• 비뉴턴 유체의 유변학을 포함한 유체-다孔성 탄성체 시스템의 잘 정의된 문제 결과가 부족한 문제를 해결하는 것.
• 해의 존재성과 유일성 분석을 통해 제안된 모델의 수학적 타당성을 확립하는 것.
• 이론적 프레임워크의 강건성을 보장하기 위해 두 가지 다른 변분 설정을 고려하는 것.

제안 방법

• 유변학적 거동을 점성 감소 특성을 반영하기 위해 비선형 점성 계수를 비례하는 속도 기반으로 설정한 스토크스 방정식을 사용하여 유체 흐름을 모델링하는 것.
• 다孔성 매질을 정적 비토 모델을 통해 표현하여 다孔성 매질 내 고체 이동과 유체 압력을 연계하는 것.
• 유체-다孔성 탄성체 계면에서 연속성 조건을 적용하여 상호작용 문제를 설정하는 것. 이는 속도와 응력의 연속성을 포함한다.
• 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해 함수해석 기법, 특히 바나흐 고정점 정리와 라크스-밀그램 보조정리를 적용하는 것.
• 수학적 일致성과 해의 존재성을 보장하기 위해 유체-다孔성 탄성체 시스템의 두 가지 다른 약한 설정을 분석하는 것.
• 해 성분의 정규성과 적분 가능성 보장을 위해 소볼레프 공간과 같은 적절한 함수 공간을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성 감소 유체와 다孔성 탄성체 간의 상호작용을 정확히 기술할 수 있는 결합 모델을 설정할 수 있는가?
• RQ2 적절한 함수 설정 하에서 제안된 비선형 스토크스-비토 모델이 고유한 해를 갖는가?
• RQ3 두 가지 다른 변분 설정 간의 수학적 구조와 해의 존재성은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이러한 비선형이고 결합된 시스템에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해 필요한 수학적 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 비선형 스토크스-비토 모델은 점성 감소 유체에 대해 스토크스 방정식과 정적 비토 모델을 성공적으로 결합한다.
• 고정점 추론과 강도 추정을 통해 첫 번째 설정에 대해 약한 해의 존재성과 유일성이 증명되었다.
• 두 번째 설정에 대해서도 변분 기법과 inf-sup 조건을 통해 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 분석 결과, 유체의 점성과 물성 매개변수에 대한 표준 가정 하에서 결합 시스템의 수학적 잘 정의됨이 확인되었다.