[논문 리뷰] A note about EC-$(s,t)$-weak tractability of multivariate approximation with analytic Korobov kernels

Heping Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 04.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최악의 경우 및 평균의 경우 설정에서 분석적 Korobov 커널을 사용한 다변수 근사 문제에서 지수적 수렴 $(s,t)$-약간의 트래크타빌리티(EC-$(s,t)$-WT)를 위한 必要하고 충분한 조건을 설정한다. 논문은 특정한 수열 $ \{a_k\}$의 감쇠 조건 하에서 EC-$(s,t)$-WT가 성립함을 증명하며, $s$와 $t$의 값에 따라 다른 기준이 적용되며, 특히 $s<1$, $s\geq1$, $t<1$, $t\geq1$의 경우를 구분한다. 또한 정보 복잡도의 경계를 사용하여 두 설정 모두에 대해 완전한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

This note is devoted to discussing multivariate approximation of continuous functions on $[0,1]^d$ with analytic Korobov kernels in the worst and average case settings. We only consider algorithms that use finitely many evaluations of arbitrary continuous linear functionals. We study EC-$(s, t)$-weak tractability under the absolute or normalized error criterion, and obtain necessary and sufficient conditions for $00$ in the average case setting.

연구 동기 및 목표

• 분석적 Korobov 커널을 사용한 다변수 근사 문제에서 EC-$(s,t)$-약간의 트래크타빌리티를 위한 必요하고 충분한 조건을 규명하는 것.
• 절대 오차 및 정규화된 오차 기준 하에서 정보 복잡도 $n(\varepsilon, S_d)$ 가 $\varepsilon^{-1}$ 및 $d$ 의 함수로 어떻게 행동하는지 분석하는 것.
• 모든 $s,t>0$ 및 $0<\min(s,t)<1$, $\max(s,t)\leq1$ 조건 하에서 최악의 경우 및 평균의 경우 설정에서 EC-$(s,t)$-WT의 완전한 특성화를 수립하는 것.
• 수열 $\{a_k\}$ 가 트래크타빌리티에 미치는 역할을 명확히 하는 것, 특히 $\lim_{k\to\infty}a_k = \infty$ 또는 $\lim_{k\to\infty}a_k < \infty$ 인 경우에 대해.
• 최악의 경우 및 평균의 경우 설정 간의 트래크타빌리티를 비교하여, ABS(절대 오차) 및 NOR(정규화된 오차) 설정에서 특정 조건 하에 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 제품형 분석적 Korobov 커널을 사용한 재생 핵 힐베르트 공간 $H(K_{d,{\bf a},{\bf b}})$ 를 사용하며, $K_{d,{\bf a},{\bf b}}({\bf x},{\bf y}) = \sum_{{\bf h} \in \mathbb{Z}^d} \omega^{\sum_{k=1}^d a_k |h_k|^{b_k}} \exp(2\pi i {\bf h} \cdot ({\bf x} - {\bf y}))$ 로 정의된다.
• 정보 복잡도 $n(\varepsilon, S_d)$ 를 최소 오차의 로그 및 필요한 함수형의 수에 대한 경계를 통해 분석하며, 트래크타빌리티의 지표로 $\ln n(\varepsilon, S_d)$ 를 사용한다.
• 이전 문헌의 알려진 결과(예: [13], [14], [2])를 적용하여 평균의 경우의 EC-$(s,t)$-WT와 최악의 경우의 관계를 설정하며, 특히 ABS 및 NOR 설정 간의 동치성 조건 하에서의 관계를 활용한다.
• 정보 복잡도의 점근적 분석을 통해 $\ln n(\varepsilon, S_d)$ 의 성장률이 $(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t$ 와의 상대적 성장률에 따라 필요하고 충분한 조건을 유도한다.
• 특히 $s>1$, $t<1$ 인 경우, $s_d$ 및 $\ln n(\varepsilon, S_d)$ 의 성장률을 제어하기 위해 얀의 부등식과 로그 경계를 활용한다.
• 정보 복잡도 간의 관계를 수립하기 위해 항등식 $\frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} = \frac{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} \cdot \frac{\ln n^{\rm avg,NOR}((e^{\rm avg}(0,d))^{-1}\varepsilon,d)}{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최악의 경우 설정에서 $0 < \min(s,t) < 1$ 이고 $\max(s,t) \leq 1$ 인 조건 하에 EC-$(s,t)$-약간의 트래크타빌리티가 성립하기 위한 수열 $\{a_k\}$ 에 대한 必요하고 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ2 평균의 경우 설정에서 $s,t > 0$ 인 조건 하에 EC-$(s,t)$-약간의 트래크타빌리티가 성립하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 최악의 경우 및 평균의 경우 설정 간에 EC-$(s,t)$-WT의 조건이 어떻게 다름을 보이며, 특히 $s<1$, $t<1$ 또는 $s>1$, $t<1$ 인 경우에 대해 설명하라.
• RQ4 수열 $\{a_k\}$ 가 발산하는 경우, 즉 $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ 인 경우, $s \geq 1$, $t=1$ 조건 하에 EC-$(s,t)$-WT를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 EC-$(s,t)$-WT가 $s>1$, $t<1$ 인 경우에 수열 $a_k$ 의 감쇠 조건으로만 특성화될 수 있는가? 만약 가능하다면 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 최악의 경우 설정에서 EC-$(s,t)$-WT는 $s \geq 1$ 이고 $t=1$ 인 경우 $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ 이면 성립하며, $s<1$, $t\leq1$ 인 경우 $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ 이면 성립한다.
• 평균의 경우 설정에서 EC-$(s,t)$-WT는 $0<s\leq1$, $t>1$ 인 경우 무조건 성립하며, $s>1$, $t<1$ 인 경우 $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ 이면 성립한다.
• 특히 $s>1$, $t<1$ 인 경우, 평균의 경우 설정에서 EC-$(s,t)$-WT는 $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ 이면 성립하며, 이는 $s<1$, $t\leq1$ 인 경우에도 필수적이고 충분한 조건이 된다.
• 특히 $s=1$, $t<1$ 인 경우, 평균의 경우 설정에서 EC-$(s,t)$-WT는 $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ 이면 성립하며, 이는 $\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$ 와 동치이다.
• ABS 및 NOR 설정 간의 동치성은 $n^{\rm avg,ABS}$ 와 $n^{\rm avg,NOR}$ 을 연결하는 항등식을 통해 확립되며, 이는 정규화된 오차 기준과 절대 오차 기준 간의 결과 전이를 가능하게 한다.
• 특히 $s>1$, $t<1$ 인 경우, 증명은 $\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$ 조건 하에 $\lim_{\varepsilon^{-1}+d\to\infty} \frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t} = 0$ 이 성립함을 보이며, 이는 조건이 충분하고 필수적임을 확인한다.