[논문 리뷰] A note on an alternative iterative method for nonexpansive mappings

Laurenţiu Leuştean, Adriana Nicolae|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 공간 내 비확장 사상에 대한 대체 반복 방법이 잘 알려진 할퍼른 반복과 본질적으로 동일하다는 것을 보여준다. 대체 방법으로 생성된 수열이 할퍼른 반복의 재매개변수화임을 보여줌으로써, 저자들은 할퍼른 방법에 대한 모든 강수렴성 및 점근적 정규성 결과가 수정 없이 대체 방법에도 그대로 적용된다는 것을 확립한다.

ABSTRACT

In this note we point out that results on the asymptotic behaviour of an alternative iterative method are corollaries of corresponding results on the well-known Halpern iteration.

연구 동기 및 목표

• 비확장 사상에 대한 대체 반복 방법과 고전적인 할퍼른 반복 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 대체 반복 계획의 수렴 행동에 관해 문헌에서 애매하게 여겨지는 점을 해결하기 위해.
• 할퍼른 반복에 대한 강수렴성 및 점근적 정규성 결과가 대체 방법에 직접 적용된다는 것을 확립하기 위해.
• 대체 반복 방법의 맥락에서 기존의 정량적 수렴 결과를 재사용하기 위한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비확장 사상 $ T $ 와 $ (\nu_n) \subseteq [0,1] $ 에 대해 대체 반복 수열 $ x_{n+1} = T(\nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n) $ 을 정의한다.
• 보조 수열 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $ 를 도입하며, $ n \geq 1 $ 에 대해 $ x_n = T y_n $ 를 만족시킨다.
• 수열 $ (y_n) $ 가 할퍼른 반복 재귀식 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})T y_n $ 을 만족함을 증명한다.
• 사상 $ T $ 의 비확장성으로부터 고정점 $ p $ 에 대해 $ d(x_n, p) \leq d(y_n, p) $ 를 도출한다.
• $ d(x_m, x_n) \leq d(y_m, y_n) $ 를 확립함으로써, $ (y_n) $ 의 수렴성 및 정규성 성질이 $ (x_n) $ 으로 전이됨을 보인다.
• 기존의 할퍼른 반복 결과를 활용하여, $ (y_n) $ 의 강수렴성 및 점근적 정규성이 $ (x_n) $ 에도 동일하게 성립함을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 공간 내 비확장 사상에 대한 대체 반복 방법은 할퍼른 반복과 본질적으로 다를까?
• RQ2 할퍼른 반복의 수렴성 및 정규성 결과를 대체 반복 방법으로 이전할 수 있을까?
• RQ3 대체 방법은 할퍼른 반복와 동일한 점근적 정규성 속도를 이어받을까?
• RQ4 대체 반복 수열이 비확장 사상 $ T $ 의 고정점으로 강수렴하기 위한 조건은 무엇일까?
• RQ5 할퍼른 반복의 정량적 수렴 결과를 대체 방법에 수정 없이 적용할 수 있을까?

주요 결과

• $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $ 로 정의된 수열 $ (y_n) $ 는 표준 할퍼른 반복이다.
• 대체 방법으로 생성된 수열 $ (x_n) $ 는 모든 $ n \geq 1 $ 에 대해 $ x_n = T y_n $ 를 만족하므로, 할퍼른 수열의 재매개변수화이다.
• 만약 $ (y_n) $ 가 비확장 사상 $ T $ 의 고정점 $ p $ 로 강수렴한다면, $ (x_n) $ 도 동일하게 $ p $ 로 강수렴한다.
• 수열 $ (y_n) $ 의 점근적 정규성 속도 $ \Phi $ 가 존재하면, 이는 $ (x_n) $ 에도 동일한 속도로 적용되며, 정량적 경계가 유지된다.
• 할퍼른 반복에 대한 모든 강수렴성 및 점근적 정규성 결과는 직접적으로 대체 반복 방법에 적용된다.
• 참고문헌 [13, 정리 4.1] 의 대체 방법에 대한 주요 결과는 [12, 정리 3.1] 과 [10, 9] 을 포함한 기존 할퍼른 반복 결과의 따름정리이다.