[논문 리뷰] A note on (asymptotically) Weyl-almost periodic properties of convolution products

В. Е. Федоров, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 4인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 특정 성장률(1.2)과 (1.3)을 가지는 해석 연산자 가족을 갖는 유한 및 무한 컨볼루션 곱에 대해 Weyl-p-거의정적성 및 점 渐진적 Weyl-p-거의정적성 성질의 불변성을 조사한다. 주요 기여는 컨볼루션 곱이 이러한 거의정적성 성질을 유지하는 데 필요한 충분조건을 확립하는 것으로, 특히 퇴화 또는 비퇴화 핵을 갖는 추상 분수계 미분방정식에 대해 적용된다.

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate Weyl-p-almost periodic properties and asymptotically Weyl-p-almost periodic properties of convolution products. Obtained results were applied to the considering of the existence and the uniqueness of a solution with the appropriate properties for abstract fractional differential inclusions of some classes. In such a way, we continue several recent research studies of ours which do concern a similar problematic.

연구 동기 및 목표

• 컨볼루션 곱에 의한 Weyl-p-거의정적성 및 점 渐진적 Weyl-p-거의정적성 성질의 유지 여부를 조사한다.
• 성장률 (1.2) 및 (1.3)을 갖는 해석 연산자 가족이 해의 거의정적성 결정에 미치는 역할을 분석한다.
• 이전 결과를 보완하기 위해 [10]의 보조정리 2.1에서 p > 1인 경우의 오류를 수정한다.
• 추상 분수계 미분포함수에 대해 (점 渐진적) Weyl-p-거의정적 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 이론적 결과를 실제 방정식에 적용하여 분수계 포isson 열 방정식 및 감쇠파 유형 방정식을 포함한다.

제안 방법

• Weyl 거리와 Stepanov 노름을 이용하여 Weyl-p-거의정적성 및 점 渐진적 형태를 정의한다.
• g가 (균일-)Weyl-p-거의정적일 때, G(t) = ∫_{-∞}^t R(t−s)g(s) ds 형태의 컨볼루션 곱을 분석한다.
• 두 가지 성장률 조건을 고려한다: t > 0일 때 ∥R(t)∥ ≤ Me^{-ct}t^{β−1} (1.2) 및 t > 0일 때 ∥R(t)∥ ≤ M t^{β−1}/(1 + t^γ) (1.3), 여기서 γ > 1.
• Weyl-Liouville 및 Caputo 유형 분수도수를 갖는 추상 분수계 미분포함수에 결과를 적용한다.
• 해의 연산자 T(t), Rγ(t), Sγ(t)에 대한 유계성 및 감쇠 성질을 도출하기 위해 해석집합 조건 (P)과 추정치를 사용한다.
• Lp(Ω) 또는 H^{-1}(Ω)에서 분수계 포isson 열 방정식 및 감쇠파 유형 방정식과 같은 구체적 PDE에 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석 연산자 가족이 (1.2) 또는 (1.3)을 만족할 때, Weyl-p-거의정적 함수와의 컨볼루션 곱이 스스로 Weyl-p-거의정적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 해석 연산자 가족의 다양한 성장률(예: (1.2) 및 (1.3))이 결과 컨볼루션의 거의정적성에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 해석 연산자가 0에서 강한 연속성이 없을 경우, 점 渐진적 Weyl-p-거의정적 함수의 컨볼루션에 대한 불변성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 추상 분수계 미분포함수에 대해 (점 渐진적) Weyl-p-거의정적 해의 존재성과 유일성을 보장하는 충분조건는 무엇인가?
• RQ5 이론적 결과는 분수계 열 방정식 및 파동 방정식과 같은 실제 현상을 모델링하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 p > 1인 경우 [10]의 보조정리 2.1의 오류를 보완하기 위해 '준점 渐진적 거의정적 함수'의 클래스를 도입한다.
• 해석 연산자 가족이 (1.2) 또는 (1.3)을 만족할 경우, 강제항 g의 Weyl-p-거의정적성이 컨볼루션 곱에 의해 유지된다.
• 분수방정식의 해 연산자 Rγ(t)는 t ∈ (0,1]일 때 ‖Rγ(t)‖ ≤ M1 t^{γβ−1} 및 t ≥ 1일 때 ≤ M2 t^{-1−γ}를 만족한다.
• 주어진 성장률 및 해석 조건 하에서 추상 분수계 포함 (3.3)에 대해 (균일-)Weyl-p-거의정적 해의 존재성과 유일성이 보장된다.
• 이론은 Lp(Ω) 또는 H^{-1}(Ω)에서 분수계 포isson 열 방정식 및 감쇠파 유형 방정식에 성공적으로 적용되어 점 渐진적 Weyl-p-거의정적 해의 존재를 확인한다.
• 이 틀은 퇴화 및 비퇴화 방정식 모두에 적용 가능하며, Weyl-Liouville 및 Caputo 분수도수 모두를 포함한다.