[논문 리뷰] A note on BSDEs and SDEs with time advanced and delayed coefficients

Shiqiu Zheng, Gaofeng Zong|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 18.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 현재, 과거, 미래의 해 값에 의존하는 계수를 가진 역확률미분방정식(BSDEs)과 확률미분방정식(SDEs)을 소개한다. 짧은 시간 지연 또는 리프시츠 상수 조건 하에서 존재성과 유일성이 증명되었으며, 두 방정식 유형 간의 이중성 관계가 수립되었다.

ABSTRACT

This paper introduces a class of backward stochastic differential equations (BSDEs), whose coefficients not only depend on the value of its solutions of the present but also the past and the future. For a sufficiently small time delay or a sufficiently small Lipschitz constant, the existence and uniqueness of such BSDEs is obtained. As the adjoint process, a class of stochastic differential equations (SDEs) is introduced, whose coefficients also depend on the present, the past and the future of its solutions. The existence and uniqueness of such SDEs is proved for a sufficiently small time advance or a sufficiently small Lipschitz constant. A duality between such BSDEs and SDEs is established.

연구 동기 및 목표

• 기존의 BSDEs와 SDEs를 확장하여 해의 과거 및 미래 값에 의존하는 계수를 포함한다.
• 미래 및 과거 해 상태에 대한 비마르코프성, 비예측 가능성에 기인한 수학적 과제를 다룬다.
• 작은 시간 지연 또는 작은 리프시츠 상수 조건 하에서 이러한 방정식의 존재성과 유일성 결과를 수립한다.
• 현재, 과거, 미래 해 값에 의존하는 계수를 가진 동반 SDE 클래스를 정의하고 분석한다.
• 제안된 BSDE 및 SDE 유형 간의 이중성 관계를 수립하며, 확률해석학에서의 고전적 이중성 개념을 일반화한다.

제안 방법

• 해의 현재, 과거, 미래 값에 의존하는 생성자 함수를 가진 새로운 BSDE 유형을 도입한다.
• 적절한 함수 공간에서 고정점 원리를 적용하여, 작은 시간 지연 또는 작은 리프시츠 상수 조건 하에서 존재성과 유일성을 증명한다.
• 현재, 과거, 미래 해 상태에 의존하는 계수를 가진 동반 SDE 유형을 정의한다.
• 수축사상 원리를 활용하여, 작은 시간 후행 또는 작은 리프시츠 조건 하에서 SDE의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해 구조와 생성자 의존성의 비교를 통해 BSDE와 그 동반 SDE 간의 이중성 관계를 유도한다.
• 비마르코프성, 비예측 가능성에 기반한 시간 유산 효과를 고려한 특화된 확률분석 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현재, 과거, 미래 해 값에 의존하는 계수를 가진 BSDE가 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 하면 BSDE와 동일한 시간적 의존성(현재, 과거, 미래)을 갖는 동반 SDE를 정의할 수 있는가?
• RQ3 시간 후행 및 지연된 계수를 가진 SDE의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 어떤 방식으로 이러한 BSDE와 SDE 간의 이중성을 수립할 수 있는가?
• RQ5 작은 시간 지연 또는 작은 리프시츠 상수는 이러한 방정식의 해법 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시간 지연이 충분히 작거나 리프시츠 상수가 충분히 작을 경우, 제안된 BSDE의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 현재, 과거, 미래 해 값에 의존하는 계수를 가진 동반 SDE 유형이 도입되었으며, 유사한 작고성 조건 하에서 유일한 해가 존재함을 증명하였다.
• BSDE와 그 동반 SDE 간의 이중성 관계가 공식적으로 수립되었으며, 이는 확률제어 이론에서의 고전적 이중성 개념을 일반화한다.
• 결과는 기존의 BSDE 및 SDE 이론을 미래 및 과거 해 값에 영향을 받는 비마르코프성, 유산적 동역학을 포함하도록 확장한다.
• 이 프레임워크는 확률적 환경에서 예측적 또는 지연된 피드백을 포함하는 시스템을 모델링하는 데 기초를 제공한다.
• 수렴성과 유일성을 보장하기 위해 적절한 확률 함수 공간에서 수축사상 원리를 기반으로 한 분석이 이루어진다.