[논문 리뷰] A note on ${\cal N}\ge 6$ Superconformal Quantum Field Theories in three dimensions

Denis Bashkirov|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 3차원에서의 모든 비가역적 ${\cal N} \geq 6$ 초등온형 양자장 이론이 스트레스 텐서 다중구조의 구조에서 기인한 전역 $U(1)$ 대칭성을 가져야 한다고 보여준다. 또한 ${\cal N}=7$ 초등온형 이론이 반드시 ${\cal N}=8$ 초대칭으로 향상된다는 것을 증명하여, 이 클래스에서 순수한 ${\cal N}=7$ 이론이 존재하지 않는 이유를 설명한다.

ABSTRACT

Based on the structure of the three-dimensional superconformal algebra we show that every irreducible ${\mathcal N}=6$ three-dimensional superconformal theory containes exactly one conserved U(1)-symmetry current in the stress tensor supermultiplet and that superconformal symmetry of every ${\mathcal N}=7$ superconformal theory is in fact enhanced to ${\mathcal N}=8$. Moreover, an irreducible ${\cal N}=8$ superconformal theory does not have any global symmetries. The first observation explains why all known examples of ${\mathcal N}=6$ superconformal theories have a global abelian symmetry.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 알려진 모든 ${\cal N}=6$ 초등온형 이론이 전역 $U(1)$ 대칭성을 지닌다는 경험적 관찰을 설명하기 위해.
• ${\cal N}=7$ 초등온형 장 이론이 ${\cal N}=8$ 이론과 독립적으로 존재할 수 있는지 확인하기 위해.
• ${\cal N}=7$ 초등온형 이론이 유니타리성과 초등온형 대칭 대수와의 일관성으로 인해 실제로 ${\cal N}=8$여야 한다는 것을 확립하기 위해.
• 스트레스 텐서 다중구조와 그 $SO({\cal N})_R$에 대한 분해가 전역 대칭성에 미치는 제약 조건을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• ${\cal N} \geq 6$ 3차원 초등온형 이론에서 스트레스 텐서의 초대칭 다중구조를 초등온형 대칭군의 부분군인 $SO(2) \times SO(3) \times SO({\cal N})_R$를 사용하여 분석한다.
• 스트레스 텐서 다중구조의 최저 레벨 성분이 $SO({\cal N})_R$에 대해 질량 4의 반대칭 텐서임을 식별한다. ${\cal N}=6$일 경우 이는 질량 2의 반대칭 텐서와 등가이다.
• ${\cal N}=6$ 이론에서 스트레스 텐서 다중구조의 두 번째 레벨 연산자들이 $R$-전류와 보존되는 전역 $U(1)$ 전류를 모두 포함한다는 사실을 이용한다. 이는 질량 2와 질량 4의 반대칭 텐서 간의 이중성 덕분이다.
• ${\cal N}=7$ 이론에서 $U(1)$ 대칭성이 $SO(7)_R$에 어떻게 통합되는지 분석하며, 이 대칭성이 $R$-대칭군과 가환하는지 여부를 고려한다.
• $SO(7)_R$의 ${\bf 35}$ 표현을 $SO(6)_R$에 대해 분해하여 ${\bf 15} + {\bf 10} + {\bf \overline{10}}$을 얻는다. 이는 ${\cal N}=8$의 분해와 정확히 일치한다.
• 초전하 이항형 $Q_{(\alpha}^{[i} Q_{\beta)}^{j]}$ 가 스칼라 연산자에 작용하는 방식을 이용하여, $U(1)$ 대칭성이 $SO(7)_R$과 가환한다면 $SO(7)_R$을 초월한 추가 보존 전류가 존재해야 하며, 이는 $\mathcal{N}=8$ 향상으로 이어진다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 알려진 모든 3차원 ${\cal N}=6$ 초등온형 장 이론이 전역 $U(1)$ 대칭성을 지닌가?
• RQ2 ${\cal N}=7$ 초등온형 장 이론이 ${\cal N}=8$으로 향상되지 않고도 일관되게 존재할 수 있는가?
• RQ3 스트레스 텐서 다중구조의 구조가 ${\cal N} \geq 6$ 초등온형 이론의 전역 대칭성에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 ${\cal N}=6$ 이론에서의 $U(1)$ 대칭성은 고차원 $\mathcal{N}$ 이론의 $R$-대칭군에 어떻게 통합되는가?
• RQ5 ${\cal N}=7$ 이론에서 $U(1)$ 전류가 $SO(7)_R$과 가환한다면 어떤 결과가 발생하는가? 이는 모순을 일으키는가?

주요 결과

• 3차원에서의 모든 비가역적 ${\cal N}=6$ 초등온형 양자장 이론은 스트레스 텐서 다중구조의 두 번째 레벨에 위치한 보존 전역 $U(1)$ 전류를 포함한다.
• 이 $U(1)$ 대칭성의 존재는 오직 ${\cal N}=6$일 때만 성립하는 $SO(6)_R$에 대한 질량 2와 질량 4 반대칭 텐서 간의 등가성에서 기인한다.
• 만약 ${\cal N}=7$ 이론에서 $U(1)$ 대칭성이 $SO(7)_R$과 가환한다면, 초전하 이항형이 $SO(7)_R$을 초월한 추가 보존 전류를 생성하게 되며, 이는 추가 $R$-대칭의 존재를 암시한다.
• 이러한 보존 전류의 과잉은 $R$-대칭군이 $SO(7)_R$에서 $SO(8)_R$으로 향상되도록 강제하며, 결과적으로 이론이 ${\cal N}=8$ 초대칭으로 승격된다.
• 따라서 순수한 ${\cal N}=7$ 초등온형 장 이론은 존재할 수 없다. 어떤 이론이라도 반드시 ${\cal N}=8$이어야 한다.
• 결과적으로 모든 ${\cal N}=8$ 초등온형 장 이론은 전역 대칭이 없으며, $U(1)$ 전류가 $R$-대칭군 $SO(8)_R$의 일부이기 때문이다.