[논문 리뷰] A note on Carlitz's type q-Changhee numbers and polynomials

Dmitry V. Dolgy, Gwan-Woo Jang외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 22.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}_p$ 위에서 페르미온적 $p$-adic $q$-적분을 통해 칼리츠 형식의 $q$-창헤이 수와 다항식을 도입하며, $q$-에이러 다항식과 스틸링 수와의 연결을 통해 명시적 공식을 유도한다. 주요 기여는 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$와 제1종 스틸링 수에 대한 $Ch_{n,q}(x)$의 닫힌 표현식과 고차 다항식 일반화, 그리고 변환 항등식을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the Carlitz's type q-analogue of Changhee numbers and polynomials and we give some explicit formulae for these numbers and polynomials.

연구 동기 및 목표

• fermionic $p$-adic $q$-적분을 통해 칼리츠 형식의 $q$-창헤이 다항식과 수를 정의하고 연구하는 것.
• $Ch_{n,q}(x)$에 대한 명시적 공식을 $q$-에이러 다항식 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$와 제1종 스틸링 수에 대해 유도하는 것.
• 다중변수 $p$-adic $q$-적분을 통해 고차 다항식의 구조를 일반화하는 것.
• 생성함수와 조합 계수를 이용하여 $q$-창헤이 다항식과 $q$-에이러 다항식 간의 변환 항등식을 유도하는 것.

제안 방법

• 생성함수를 $\int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y) = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$로 정의한다.
• $q$-정수, 제1종 스틸링 수 $S_1(n,k)$, $q$-에이러 수 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$를 포함하는 이중 합으로 $Ch_{n,q}(x)$를 표현한다.
• $\log(1+t)^k = \sum_{n=k}^\infty S_1(n,k) \frac{t^n}{n!}$의 전개를 사용하여 생성함수 간의 관계를 설정하고 계수를 추출한다.
• $r$중 $p$-adic $q$-적분을 통해 고차 $q$-창헤이 다항식을 유도한다: $\int_{\mathbb{Z}_p^r} (1+t)^{[x_1+\cdots+x_r+x]_q} d\mu_{-q}^r = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}^{(r)}(x) \frac{t^n}{n!}$.
• $e^t - 1$과 $\log(1+t)$를 포함하는 생성함수의 계수를 비교하여, 제2종 스틸링 수를 통한 $Ch_{n,q}^{(r)}(x)$와 $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x)$ 간의 변환 항등식을 수립한다.
• $p$-adic 적분의 $d$-adic 전개를 사용하여, 홀수 $d$에 대해 $\mathcal{E}_{k,q^d}(\frac{a+x}{d})$에 대한 $Ch_{n,q}(x)$의 일반화된 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $\mathbb{Z}_p$ 위에서 페르미온적 $p$-adic $q$-적분을 사용하여 칼리츠 형식의 $q$-창헤이 다항식을 정의할 수 있는가?
• RQ2 $q$-에이러 다항식과 제1종 스틸링 수에 대해 $Ch_{n,q}(x)$를 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 생성함수를 통해 고차 $q$-창헤이 다항식과 고차 $q$-에이러 다항식은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 스틸링 수를 사용하여 $q$-창헤이 다항식과 $q$-에이러 다항식 간의 변환 항등식은 무엇이 있는가?
• RQ5 $p$-adic 적분의 $d$-adic 분해를 사용하여 $Ch_{n,q}(x)$에 대한 일반화된 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• $q$-창헤이 다항식은 $Ch_{n,q}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}(x)$로 명시적으로 주어지며, 이는 $q$-에이러 다항식과 직접적인 연결을 제공한다.
• 닫힌 표현식이 유도되었으며: $Ch_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k \frac{1}{(1-q)^k} \binom{k}{l} q^{lx} (-1)^l \frac{S_1(n,k)}{1+q^{l+1}}$로, $q$-정수와 스틸링 수를 포함한다.
• 고차 $q$-창헤이 다항식에 대해서는 $Ch_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}^{(r)}(x)$로 주어지며, 고차 $q$-에이러 다항식과 유사한 구조적 관계를 보인다.
• 역변환은 $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n Ch_{k,q}^{(r)}(x) S_2(n,k)$로 주어지며, 제2종 스틸링 수를 통한 쌍대성 관계를 수립한다.
• 일반화된 공식이 도출되었으며: $Ch_{n,q}(x) = \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{k=0}^n [d]_q^k \left( \sum_{a=0}^{d-1} (-q)^a \mathcal{E}_{k,q^d}\left(\frac{a+x}{d}\right) \right) S_1(n,k)$ (홀수 $d$에 대해), 이는 $p$-adic 적분의 구조를 확장한다.
• 생성함수 $\sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!} = \int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y)$는 $q$-창헤이 다항식의 기초가 되는 적분 표현을 제공한다.