[논문 리뷰] A note on Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 스킴의 유도 순환 공간을 이용하여 안정 ∞-카테고리의 층인 유도 측도 층에 대한 분류된 체르누흐 특성자를 도입한다. 이는 순환 동형과 연결되며, 완전 복합체에 대한 고전적 체르누흐 특성자를 일반화하고, 유도 대수기하학에서 특성류를 이해하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다. 이는 허지의 구조 변화와 잠재적인 대수적 타원형 코homology에 대한 영향을 포함한다.

ABSTRACT

In this note we present a work in progress whose main purpose is to establish a categorified version of sheaf theory. We present a notion of derived categorical sheaves, which is a categorified version of the notion of complexes of sheaves of modules on schemes, as well as its quasi-coherent and perfect versions. We also explain how ideas from derived algebraic geometry and higher category theory can be used in order to construct a Chern character for these categorical sheaves, which is a categorified version of the Chern character for perfect complexes with values in cyclic homology. Our construction uses in an essential way the derived loop space of a scheme X, which is a derived scheme whose theory of functions is closely related to cyclic homology of X. This work can be seen as an attempt to define algebraic analogs of elliptic objects and characteristic classes for them. The present text is an overview of a work in progress and details will appear elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 유도 대수기하학에서 O-모듈러스의 복합체를 안정 ∞-카테고리의 층으로 일반화하는 분류된 층 이론을 개발한다.
• 완전한 분류 층에 대한 체르누흐 특성자를 정의하여 순환 동형에 값이 되도록 하며, 고전적 체르누흐 특성자를 확장한다.
• 이 분류된 체르누흐 특성자를 유도 순환 공간과 S¹-등변 구조와 연결하여 허지 이론과 주기적 순환 동형과 연결한다.
• 높은 차수의 카테고리적 구조(2-카테고리, n-카테고리)와 점점 증가하는 크로모틱 수준의 일반화된 코homology 이론 간의 관계를 탐색한다. 특히 타원형 코homology에 초점을 맞춘다.
• 높은 차수의 카테고리적 및 유도 기하학적 방법을 통해 타원형 대상의 대수적 동치물과 그 특성류를 이해하기 위한 기초 도구를 마련한다.

제안 방법

• 유도 측도 층을 O-모듈러스의 복합체에 대한 분류된 해석으로 정의하며, 준구성 및 완전한 변형을 포함한다.
• 스킴 X의 유도 순환 공간 LX를 활용하며, 그 함수 대수는 X의 순환 동형과 밀접하게 연결되어 있다.
• 완전한 분류 층 T의 K-이론에서 S¹-등변 유도 층 D^{S¹}_{parf}(LX)로 가는 체르누흐 특성자 지ap Ch^cat(T)를 구성한다.
• 특히 강한 대칭 모노이드 ∞-카테고리에서의 추적 맵을 활용하여, 카테고리의 호크시드 동형에 대한 추적을 통해 체르누흐 특성자를 정의한다.
• D^{S¹}_{parf}(LX)를 D-모듈러스의 유도 층으로 식별함으로써 허지 필터링과 가우스-민 코너넥션을 포함하는 리스 대수의 모듈러스에 대한 유도 층으로 연결함으로써, 이 구성이 허지 이론과 어떻게 연결되는지 밝힌다.
• 국소화 및 형식적 변형 기법을 사용하여 S¹-등변 음의 순환 동형을 주기적 순환 동형과 허지 다항식과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 안정 ∞-카테고리의 층(분류 층)에 대한 체르누흐 특성자를 유도 대수기하학에서 정의할 수 있는가?
• RQ2 유도 순환 공간은 어떻게 순환 동형과 분류 층의 특성류를 인코딩하는가?
• RQ3 분류된 체르누흐 특성자는 허지의 구조 변화와 가우스-민 연결과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 구성은 주기적 순환 동형과 허지 다항식을 분류 층의 관점에서 기하학적 해석을 제공할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 타원형 코homology의 대수적 동치물로 기능할 수 있는 정도는 어느 정도이며, 이는 상위 타원형 코homology를 어떻게 안내할 수 있는가?

주요 결과

• 분류된 체르누흐 특성자 Ch^cat(T)는 유도 순환 공간 L X의 S¹-등변 유도 층에서의 사상으로서 음의 순환 동형에 값이 된다.
• 이 구성은 강한 대칭 모노이드 ∞-카테고리에서의 추적을 통해 완전한 분류 층 T의 K-이론에서 카테고리의 호크시드 동형으로 가는 추적 맵으로서 체르누흐 특성자를 실현한다.
• Ch^cat(T)의 상은 음의 순환 복합체 HC^−(T)의 허지 필터링과 가우스-민 연결을 포함하며, 자연스러운 허지의 구조 변화의 구조를 암시한다.
• X가 특성 0인 체 위에서 미분 가능할 경우, S¹-등변 유도 층 D^{S¹}_{parf}(LX)는 미분 연산자의 리스 대수의 모듈러스에 대한 유도 층으로 식별된다.
• HC^−,S¹_0(LX)에서 HP_0(X)[[t]][t^{-1}]로 가는 사상이 기대되며, 이는 분류된 체르누흐 특성자를 주기적 순환 동형과 허지 다항식과 연결한다.
• 이 프레임워크는 타원형 코homology의 대수적 동치물에 대한 후보를 제공하며, 와커의 K-이론 결과처럼 대수적 K-이론 구성으로 상위 타원형 코homology를 복원할 가능성이 있다.