[논문 리뷰] A note on extended full waveform inversion

Tristan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 31.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 물리적 및 측정 불확실성에서 유도된 매질에 의존하는 잔차 가중 행렬 $Σ(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 를 갖는 전통적 FWI로 확장된 전체 파형 역산의 등가 재구성법을 제시한다. 주요 기여는 이러한 재가중이 비선형성을 감소시키고, 반복마다 추가적인 가중 행렬만을 갖는 표준 FWI 워크플로우를 사용하여 효율적인 구현이 가능하다는 것을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) aims at estimating subsurface medium properties from measured seismic data. It is usually cast as a non-linear least-squares problem that incorporates uncertainties in the measurements. In exploration seismology, extended formulations of FWI that allow for uncertaties in the physics have been proposed. Even when the physics is modelled accurately, these extensions have been shown to be beneficial because they reduce the non-lineary of the resulting data-fitting problem. In this note, I derive an alternative (but equivalent) formulation of extended full waveform inversion. This re-formulation takes the form of a conventional FWI formulation that includes a medium-dependent weight on the residuals. I discuss the implications of this re-formulation and illustrate its properties with a simple numerical example.

연구 동기 및 목표

• 확장된 전체 파형 역산(FWI)의 대안적 등가 재구성법을 제공하여 그 이점을 유지하면서도 구현을 단순화한다.
• 확장된 FWI의 공식이 매개변수에 의존하는 잔차 가중 행렬을 갖는 전통적 FWI로 재구성될 수 있음을 보여준다.
• 이러한 재가중이 데이터 피팅 문제의 비선형성을 감소시키며 수렴 성질을 향상시킴을 보여준다.
• 기존의 FWI 소프트웨어 스택을 최소한의 수정으로 활용하여 실용적인 구현을 가능하게 한다.
• 확장된 FWI 프레임워크를 베이지안 불확실성 정량화와 관련된 마진 분포 공분산을 통해 연결한다.

제안 방법

• 파동장 변수 $\mathbf{u}$ 를 제거하여 확장된 FWI의 등가 감소된 공식을 유도함으로써, 매질에 의존하는 가중 행렬 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 를 갖는 목적 함수를 도출한다.
• 잔차 가중 행렬을 $\Sigma(\mathbf{m}) = P(A^*(\mathbf{m})\Sigma_p^{-1}A(\mathbf{m}))^{-1}P^*$ 로 표현하여 수신기 측의 그린 함수 간 상관관계를 나타낸다.
• 기존 FWI와 유사한 경사수식을 유도하며, 반복마다 추가로 한 번의 정방향 시뮬레이션만 필요로 한다.
• 확장된 행렬 $\Sigma(\mathbf{m})$ 의 실용적 근사법을 제안하며, 이는 랜덤 행렬 탐색, 데이터 기반 공분산 추정, 그리고 단순 모델에 대한 해석적 형태를 포함한다.
• 다양한 속도를 갖는 1차원 악성 문제를 사용하여 새로운 목적 함수에서 비선형성이 감소함을 수치적으로 입증한다.
• 시간 영역 및 주파수 영역 양쪽에서 확장된 FWI와 잔차 가중 FWI 공식 간의 동치성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 FWI는 매질에 의존하는 잔차 가중 행렬을 갖는 전통적 FWI로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 $\Sigma(\mathbf{m})$ 의 포함이 FWI 목적 함수의 비선형성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 표준 FWI 워크플로우에 새로운 잔차 가중 방식을 구현하는 데 있어 계산 비용과 실용적 가능성은 어떠한가?
• RQ4 완전한 행렬 역행렬 계산 없이도 $\Sigma(\mathbf{m})$ 를 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ5 새로운 공식은 FWI에서의 베이지안 불확실성 정량화와 어떤 연결고리가 있는가?

주요 결과

• 확장된 FWI 공식은 과정 및 측정 불확실성을 모두 반영하는 매개변수에 의존하는 잔차 가중 행렬 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 를 갖는 전통적 FWI와 수학적으로 동치이다.
• 수치적 토이 예제를 통해 목적 함수의 등고선이 더 매끄럽다는 것을 입증함으로써, 새로운 공식이 데이터 피팅 문제의 비선형성을 감소시킴을 보여준다.
• 새로운 목적 함수의 경사값은 추가로 한 번의 정방향 시뮬레이션만으로 계산 가능하므로, 구현에 있어 계산적으로 효율적이다.
• 잔차 가중 행렬 $\Sigma(\mathbf{m})$ 는 베이지안 FWI 프레임워크에서 마진 분포 공분산으로 해석될 수 있다.
• 데이터 기반 공분산 추정 및 랜덤 탐색과 같은 근사법을 사용하여 실무에서 $\Sigma(\mathbf{m})$ 를 효율적으로 계산할 수 있다.
• 재구성은 특히 샘플링 연산자 $P$ 가 가역일 경우 확장된 FWI와 방정식 오차 방법 사이의 직접적인 연결고리를 드러낸다.