[논문 리뷰] A Note on "Global solutions for nonlinear fuzzy fractional integral and integrodifferential equations"

Robab Alikhani, F. Bahrami|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 10.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 퍼지 분수적 적분미분방정식에 관한 이전 연구에서 제시된 두 예제의 정확한 해를 α-레벨 집합과 퍼지 수의 L-U 표현을 이용한 엄밀한 증명을 통해 정당화한다. 다른 연구에서 비현실적인 퍼지 수에 대해 x − x = 0을 잘못 사용했다는 주장이 있었으나, 본 논문은 이를 반박하며 α-컷에 대한 간격 산술을 통해 해가 방정식을 만족함을 보여, 상한 및 하한 해의 프레임워크 내에서 해의 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

The authors in \cite{alikhani} have given two examples to illustrate their results in which they have been eliminated the technical details. However, the authors in \cite{salahshur} claimed that the examples are incorrect. In fact they conjectured that the authors in \cite{alikhani} have employed the incorrect statement $x-x=0$ for $x\in {\mathbb R}_{\mathcal F}\setminus \mathbb R$ to construct the examples. Here we intend to observe that the basic method used in \cite{alikhani} to prove the validity of the examples is the well-known L-U representation of a fuzzy-number valued function. In this sense, we will make use of the $α$-level sets and show that the examples are correct.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 다룬 퍼지 분수적 적분미분방정식(FFIDEs)의 두 예제에 대한 정확한 해의 정당성에 대한 논란을 해결하는 것.
• 다른 연구에서 오류가 있다고 주장함에도 불구하고, 해가 수학적으로 타당하다는 것을 입증하는 것.
• 원래 증명에서 실수하지 않은 퍼지 수에 대해 x − x = 0을 사용하지 않았다는 것을 명확히 하는 것.
• 이론적 프레임워크에서 요구하는 바와 같이, 해가 상한 및 하한 해가 정의한 범위 내에 존재함을 보여주는 것.
• α-레벨 집합을 기반으로 한 증명 방법이 퍼지 분수미분학에서 해를 검증하는 데 충분하고 올바르다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 논문은 퍼지 수를 표현하기 위해 α-레벨 집합을 사용하며, 각 퍼지 수 c를 α ∈ [0,1]에 대해 [c]α = [clα, crα]로 표현한다.
• 해의 행동을 α-컷 전역에서 분석하기 위해 퍼지수값 함수의 L-U 표현을 적용한다.
• 각 α-레벨에서 분수적 적분미분방정식으로부터 유도된 간격값 표현의 등식을 확인하여 해의 타당성을 검증한다.
• 왼쪽과 오른쪽 변의 식을 모두 α ∈ [0,1]에 대해 간격 산술을 통해 계산하여 일치함을 보여, 방정식의 해가 타당함을 입증한다.
• 특히, Lemma 2.2에서 제시된 분배법칙 및 스칼라 곱셈 규칙을 활용한 퍼지 산술의 성질에 기반하여, 실수적이지 않은 퍼지 수에 대해 x − x = 0과 같은 잘못된 연산을 피한다.
• 원래 연구의 정리 4.5–4.6을 참조하여, 해는 모든 해가 아니라 일부 해가 상한 및 하한 해 사이에 존재하면 되며, 이를 통해 [4]에서 발생한 오해를 해소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 논문 [1]의 예제 1과 2에서 제시된 정확한 해는 오류 주장에도 불구하고 수학적으로 타당한가?
• RQ2 원저자들이 실수 집합 ℝ에 속하지 않는 퍼지 수에 대해 x − x = 0을 잘못 가정했는가?
• RQ3 퍼지 산술 항등식 대신 α-레벨 집합을 사용하여 해의 정당성을 입증할 수 있는가?
• RQ4 퍼지 분수방정식의 맥락에서 모든 해가 상한 및 하한 해 사이에 엄격히 존재해야 하는가?
• RQ5 정의 2.3에서 주어진 퍼지 분수미분의 정의에 따라, u(t) = c 및 u(t) = c + ct^{q-1}가 초기값 문제를 만족하는가?

주요 결과

• 예제 2.4에서 u(t) = c는 간격 산술을 적용한 후 양변의 α-레벨 집합이 일치하므로 타당하다.
• 예제 2.5에서 u(t) = c + ct^{q-1}는 간격 연산을 통해 각 α-컷에서 등식이 확인되어 타당하다.
• [4]에서 주장한 바와 같이 x − x = 0이 증명에 사용되었던 것은 잘못된 주장이며, 본 논문은 증명이 퍼지 뺄셈이 아닌 오직 α-레벨 집합 산술에 의존하고 있음을 보여준다.
• 정의 2.3에서 요구하는 lin_{t→0+} t^{1−q}u(t) = ˆ0를 만족하므로, u(t) = c는 초기 조건을 만족한다.
• c ≥ ˆ0일 때, u(t) = c + ct^{q−1}는 하한 해 ct^{q−1}와 상한 해 10ct^{q−1} 사이에 존재하며, 이는 [1]의 정리 4.5와 일치한다.
• 논문은 모든 해가 상한 및 하한 해 사이에 있어야 한다는 것이 아니라, 일부 해만 그러한 범위에 존재하면 되며, 이는 [4]에서 발생한 오해를 해결한다.