[논문 리뷰] A note on Harnack and Transportation inequalities For Stochastic Differential Equations with reflections

Brahim Boufoussi, Soufiane Mouchtabih|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반사 확률적 미분 방정식(RSDEs)과 국소 시간을 갖는 확률적 미분 방정식(SDELs)에 대해 운반 비용 부등식과 하르낙 부등식을 수립한다. 지르산وف 변환과 커플링 방법을 사용하여 균일 거리 및 $L^2$ 거리에 대해 $T_1(C)$ 및 $T_2(C)$ 부등식을 도출함으로써 측도의 농도 집중과 지수 수렴성 결과를 이끌어낸다. 주요 결과로는 계수의 온건한 정규성 조건 하에서 관련 준거군에 대해 로그-하르낙 부등식을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

We establish transportation cost inequalities, with respect to the uniform and $L_2$-metric, on the path space of continuous functions, for laws of solutions of stochastic differential equations with reflections. We also consider the case of stochastic differential equations involving local times. Harnack inequalities for the associated semigroups are also established.

연구 동기 및 목표

• 반사 SDE의 해 법칙에 대해 경로공간 상의 균일 거리 및 $L^2$ 거리에 대해 $T_1(C)$ 및 $T_2(C)$ 운반 비용 부등식을 도출한다.
• 반사 및 국소 시간 SDEs와 관련된 준거군에 대해 로그-하르낙 및 하르낙 부등식을 수립한다.
• 워샤르슈타인 거리 추정을 활용하여 국소 시간을 갖는 SDE의 소규모 및 대규모 시간 점근적 행동을 분석한다.
• 적절한 조건 하에서 전이 핵심이 불변 측도로의 워샤르슈타인 거리에서의 지수 수렴을 증명한다.
• 유도된 운반 비용 부등식을 활용하여 해의 덧셈형 기능에 대한 농도 부등식을 제공한다.

제안 방법

• 경로공간 상의 반사 SDE 법칙에 대해 운반 비용 부등식을 도출하기 위해 지르산오프 변환을 활용한다.
• 커플링 기법을 적용하여 준거군 $P_t f(x) = \mathbb{E}[f(X^x(t))]$에 대해 로그-하르낙 및 하르낙 부등식을 수립한다.
• 측도 변화를 통해 국소 시간을 갖는 SDE를 일반적인 SDE로 변환하고, Wang(2011)의 하르낙 부등식에 관한 기존 결과를 적용한다.
• 워샤르슈타인 거리 $W_p^d(\mu, \nu)$ 및 상대 엔트로피 $H(\nu/\mu)$를 정의하고 $T_p(C)$ 부등식을 검증하기 위해 활용한다.
• Djellout 등(2004)의 결과를 적용하여 전이 핵심이 $W_2$ 거리에서 불변 측도로의 지수 수렴을 증명한다.
• 운동 비용 부등식 $T_1(C)$를 통해 농도 부등식을 도출하며, 이는 시간 평균 및 과정의 최대값에 대한 허프딩 유형의 경계를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 SDE의 법칙은 경로공간 상의 균일 거리 및 $L^2$ 거리에 대해 운반 비용 부등식을 만족하는가?
• RQ2 편이 및 확산 계수에 대한 온건한 정규성 조건 하에서 반사 SDE의 준거군에 대해 로그-하르낙 및 하르낙 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 국소 시간을 갖는 SDE가 워샤르슈타인 $W_2$ 거리에서 불변 측도로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ4 국소 시간을 갖는 SDE에 대해 운반 비용 부등식이 어떻게 덧셈형 기능의 측도의 농도 집중을 이끌어내는가?
• RQ5 워샤르슈타인 추정을 통해 국소 시간을 갖는 SDE의 해에 대한 소규모 및 대규모 시간 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 반사 SDE의 해 법칙은 균일 거리 및 $L^2$ 거리에 대해 $T_1(C)$ 및 $T_2(C)$ 부등식을 만족하며, 이는 측도의 농도 집중을 의미한다.
• 경로공간 상의 임의의 리프시츠 함수성 $F_V$에 대해 농도 부등식 $\mathbb{P}\big(\frac{1}{T}\int_0^T V(X(t)) dt - \mathbb{E}[V(X(t))] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C\alpha^2}\big)$ 이 성립한다.
• 최대값 함수성 $F_\infty$에 대해 농도 경계 $\mathbb{P}\big(\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x| - \mathbb{E}[\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x|] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C}\big)$ 가 확립된다.
• 조건 $H(7)$ 및 $H(8)$ 하에서 준거군은 하르낙 부등식을 만족한다: $(P_T f(y))^p \leq (P_T f^p(x)) \exp\big[\cdots\big]$ for $p > (1 + \gamma/\lambda)^2$, $|x-y|^2$ 에 대한 명시적 의존성 포함.
• 전이 핵심과 불변 측도 사이의 워샤르슈타인 거리는 지수적으로 감소한다: $W_2(P_t(x,\cdot), \mu) \leq \frac{M}{m} e^{-\delta t} \big(\int |x-y|^2 \mu(dy)\big)^{1/2}$.
• 특정 SDE에 대해 $\sigma(x) = I_{x<0} + \frac{1+\beta}{1-\beta}I_{x\geq0}$, $b(x) = -\delta x \sigma(x)$, $\nu = \beta \delta_0$ 이면 변환된 과정은 온스터린-울렌벡 과정이 되며, 모든 결과가 적용된다.