[논문 리뷰] A note on Hurwitz schemes of covers of a positive genus curve

Tom Graber, Joe Harris외 1명|ArXiv.org|2002. 05. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 $d$차 쌍대피복을 갖는 매끄럽고 사영적인 곡선 $B$의 경우, $h \geq 1$인 종수를 지닌 곡선 $B$ 위에서 $w \geq 2d$개의 단순 분 branching 점을 가지며 전체 단일군 $S_d$를 갖는 Hurwitz 스킴이 연결되어 있음을 증명한다. 종수에 대한 귀납법과 단일군 표현에 대한 브레인 군 작용을 이용하여, 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$의 기약성을 확립하며, 이는 $\mathbb{P}^1$에서의 고전적 결과를 고종수 곡선으로 일반화한다.

ABSTRACT

We prove the irreducibility of the space parametrizing branched covers of a fixed Riemann surface $B$ of degree $d$, with at least 2d branch points, and with monodromy group equal to $S_d$. The result is classical for $g(B)=0$. The result is well-known for $g(B) > 0$, but we could find no reference.

연구 동기 및 목표

• 종수 $h \geq 1$인 매끄럽고 사영적인 곡선 $B$ 위의 $d$차 피복을 파라미터화하는 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$의 기약성을 확립하는 것.
• 기존의 $\mathbb{P}^1$에서의 Hurwitz 스킴 기약성 결과를 고종수 곡선으로 확장하는 것.
• 기하학적 및 위상수학적 방법을 이용하여, $w \geq 2d$일 때 모듈리 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$가 연결되어 있음을 증명하는 것.

제안 방법

• 기본점과 피브어의 레이블링을 고정한 스킴 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$를 사용하여 단일군 표현의 모노드로미를 연구한다.
• 분 branching 점 구성 분석을 위해 분 branching 사상 $\text{br}: H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0) \to (B - \Sigma)^{w,\circ}$를 정의한다.
• 곡선 $B$의 종수 $h$에 대한 귀납법을 적용하여, 부분표면 $B_1$과 $B_2$로 분해함으로써 문제를 낮은 종수의 곡선으로 환원한다.
• 브레인 군 작용과 분 branching 영역 내 경로 옮김을 이용하여 $B_1$-자명 피복을 연결함으로써, 임의의 두 $B_1$-자명 피복 간에 단일군 표현을 변형할 수 있음을 보인다.
• 분 branching 영역 내 경로를 모듈리 공간 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$로 옮겨, 경로 연결성에 의해 연결성을 증명한다.
• 기본 사상 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0) \to \mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$가 에탈이고 이미지가 밀도가 높다는 사실을 이용하여, 이로부터 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$의 연결성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 $h > 0$인 곡선 $B$에 대해 $w \geq 2d$일 때, Hurwitz 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$는 연결되어 있는가?
• RQ2 기존의 $\mathbb{P}^1$에서의 Hurwitz 스킴 기약성 결과는 고종수 곡선으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 단일군 표현에 대한 브레인 군 작용은 전체 단일군을 갖는 피복의 모듈리 공간의 연결성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 기저 곡선의 종수는 전체 대칭 단일군을 갖는 Hurwitz 스킴의 구조에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $w \geq 2d$일 때 Hurwitz 스택 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$는 연결되어 있으며, 이는 기약성을 증명한다.
• 증명은 곡선 $B$의 종수 $h$에 대한 귀납법을 사용하며, 기저 사례 $h = 0$는 고전적으로 알려져 있다.
• $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$의 모든 연결 성분은 $B_1$-자명 피복을 포함한다. 즉, 부분표면 $B_1$에서 단일군 표현이 자명하다.
• 브레인 군 작용을 통해 임의의 $B_1$-자명 피복을 다른 어떤 $B_1$-자명 피복으로 변형할 수 있으며, 이는 모듈리 공간 내 경로 연결성을 보장한다.
• 레이블이 부여된 모듈리 공간 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$에서 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$로의 기본 사상은 에탈이고 이미지가 밀도가 높으며, 따라서 이의 연결성은 후자의 연결성을 유도한다.
• $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$는 $\mathbb{C}$ 위의 매끄럽고 유한형의 딜리뉴-무름안 스택이며, 그 연결성은 핵심 결과이다.