[논문 리뷰] A note on identities in plactic monoids and monoids of upper-triangular tropical matrices

Alan J. Cain, Georg Klein외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 12.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 영구 랭크 플라켓 모노이드가 비자명한 항등식을 만족하지 않음을 입증한다. 이는 청색 표기법의 조합론을 사용하여 랭크-n 플라켓 모노이드에서 길이 ≤ n 인 항등식이 성립하지 않음을 보여줌으로써 이루어진다. 또한 n×n 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드에 대해 새로운 항등식을 제안하고, 랭크-3 플라켓 모노이드를 두 개의 3×3 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드의 직접곱에 명시적으로 통합함으로써, 랭크-3 플라켓 모노이드가 비자명한 항등식을 만족함을 새롭게 증명한다.

ABSTRACT

This paper uses the combinatorics of Young tableaux to prove the plactic monoid of infinite rank does not satisfy a non-trivial identity, by showing that the plactic monoid of rank $n$ cannot satisfy a non-trivial identity of length less than or equal to $n$. A new identity is then proven to hold for the monoid of $n imes n$ upper-triangular tropical matrices. Finally, a straightforward embedding is exhibited of the plactic monoid of rank $3$ into the direct product of two copies of the monoid of $3 imes 3$ upper-triangular tropical matrices, giving a new proof that the plactic monoid of rank $3$ satisfies a non-trivial identity.

연구 동기 및 목표

• 영구 랭크 플라켓 모노이드가 비자명한 항등식을 만족하는지 여부를 규명하는 것.
• 특히 랭크 n ≥ 4 인 유한 랭크 플라켓 모노이드에서 항등식의 존재성을 조사하는 것.
• n×n 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드에서 만족하는 새로운 비자명한 항등식을 구성하는 것.
• 랭크-3 플라켓 모노이드를 두 개의 3×3 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드의 직접곱에 명시적인 임베딩을 제공하는 것.
• 이 임베딩을 사용하여 랭크-3 플라켓 모노이드가 비자명한 항등식을 만족함을 새로운 방식으로 증명하는 것.

제안 방법

• 플라켓 모노이드의 구조를 분석하기 위해 청색 표기법과 셴스테드 알고리즘의 조합론을 사용한다.
• 청색 표기법의 행 및 열 읽기 표현을 사용하여 랭크-3 플라켓 모노이드의 원소를 특성화한다.
• 청색 표기법의 요소에서 유도된 행렬 표현을 사용하여 랭크-3 플라켓 모노이드에서 두 개의 U₃(𝕋) 복사본의 직접곱으로의 사상 Ψ₃를 구성한다.
• 반세미군 ℝ ∪ {−∞} 에서 최댓값을 덧셈으로, 덧셈을 곱셈으로 사용하는 토플로이드 행렬 곱셈을 적용한다.
• 청색 표기법과 그 P-기호 사이의 일대일 대응을 사용하여 임베딩 Ψ₃의 단사성을 보장한다.
• 행렬 이미지 φ₃(u) 와 σ₃(u) 가 표기법의 매개변수를 유일하게 결정함을 보여줌으로써 단사성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영구 랭크 플라켓 모노이드는 비자명한 항등식을 만족하는가?
• RQ2 랭크 n 인 플라켓 모노이드는 길이 ≤ n 인 비자명한 항등식을 만족할 수 있는가?
• RQ3 n×n 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드에서 어떤 새로운 항등식이 성립하는가?
• RQ4 랭크-3 플라켓 모노이드는 토플로이드 행렬 모노이드의 곱에 명시적인 임베딩을 가질 수 있는가?
• RQ5 그러한 임베딩은 랭크-3 플라켓 모노이드가 비자명한 항등식을 만족함을 의미하는가?

주요 결과

• 영구 랭크 플라켓 모노이드는 어떤 n에 대해서도 랭크-n 플라켓 모노이드에서 길이 ≤ n 인 비자명한 항등식이 성립하지 않기 때문에 비자명한 항등식을 만족하지 않는다.
• 모든 n ≥ 3 에 대해, n×n 상삼각 토플로이드 행렬 모노이드는 옥니ński의 접근 방식을 기반으로 한 방법으로 구성된 새로운 비자명한 항등식을 만족한다.
• u ↦ (φ₃(u), σ₃(u)) 로 정의된 사상 Ψ₃: plact₃ → U₃(𝕋) × U₃(𝕋) 는 단사적 준동형사상이므로 임베딩이다.
• 임베딩 Ψ₃ 를 통해 plact₃ 가 항등식 u₂(xy, yx) = v₂(xy, yx) 를 만족함을 결론 내릴 수 있다. 여기서 u₂ 와 v₂ 는 두 개의 변수에 대한 특정 단어이다.
• plact₃ 의 임의의 원소와 관련된 청색 표기법의 매개변수는 φ₃ 와 σ₃ 에 대한 이미지로부터 유일하게 복원 가능하며, 이는 단사성을 확인한다.
• 이 결과는 이전의 이즈하키안의 하위직접곱 구성과 독립적인 새로운 간단한 증명을 제공하여 plact₃ 가 비자명한 항등식을 만족함을 입증한다.