[논문 리뷰] A Note on Islands in Schwarzschild Black Holes

I. Ya. Aref’eva, И. В. Волович|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 08.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스카우지르드 블랙홀에서의 아일랜드 구성이 블랙홀의 증발 기간 동안 얽힘 엔트로피를 유 bounds하지 못함을 보여주며, 이는 블랙홀 질량이 감소함에 따라 커지는 발산 항 $ \frac{c b}{6 r_h} $ 로 인한 것이다. 영구 블랙홀에서는 극값 조건이 엔트로피를 안정화시키지만, 증발의 끝단에 다다르면 엔트로피는 무한히 증가하며, 이는 아인슈타인-아인슈타인 평탄한 시공간에서 아일랜드 제안의 유니타리성을 도전한다.

ABSTRACT

We consider evaporation of the Schwarzschild black hole and note that island configurations do not provide a bounded entanglement entropy. The same remark is valid also for some other static black holes. A proposal for improving the situation is discussed

연구 동기 및 목표

• 스카우지르드 블랙홀에서의 아일랜드 구성이 증발 기간 동안 얽힘 엔트로피를 유 bounds하는지 조사하기 위해.
• 증발하는 블랙홀에 적용했을 때 아일랜드 공식에서 무한히 증가하는 엔트로피의 기원을 규명하기 위해.
• 작은 블랙홀 질량($ r_h \to 0 $)의 극한에서 양자 극값 표면 규정의 타당성을 평가하기 위해.
• 작은 $ r_h $ 에서 크루스칼 좌표계의 특이성을 해결하기 위해 열역학적 좌표를 사용한 정규화를 제안하기 위해.
• 이 문제의 일반성을 평가하기 위해 레이스너-노르트스트롬 및 dS 블랙홀을 포함한 다른 정적 블랙홀로 분석을 확장하기 위해.

제안 방법

• 스카우지르드 블랙홀의 맥락에서 아일랜드 공식 $ S(R) = \min_\mathcal{I} \left[ \frac{\text{Area}(\partial\mathcal{I})}{4G} + S_{\text{matter}}(R \cup \mathcal{I}) \right] $ 을 분석하기 위해.
• 특히 $ \frac{c b}{6 r_h} $ 항에 주목하여 엔트로피 표현식 $ S_\mathcal{I} = \frac{2\pi r_h^2}{G} + \frac{c}{6} \frac{b - r_h}{r_h} + \frac{c}{6} \log \left( \frac{16 r_h^3 (b - r_h)^2}{G^2 b} \right) $ 를 검토하기 위해.
• 작은 $ r_h $ 에서 $ \frac{c b}{6 r_h} $ 항이 지배적이며, 이는 $ r_h \to 0 $ 에서 엔트로피가 무한히 증가하게 하며, 극값 조건에도 불구하고 그렇다는 것을 규명하기 위해.
• 경로 적분의 $ G $-전개와 복제 기법을 사용하여 아일랜드 공식을 유도하며, 배경 메트릭이 $ G $ 에 의존함에 따라 작은 $ G $ 에서 특이 행동을 보임을 주목하기 위해.
• 작은 $ r_h $ 에서 크루스칼 좌표계의 특이성을 피하기 위해 열역학적 좌표를 사용한 정규화를 적용하여, 증발의 마지막 단계에서 엔트로피를 유한하게 평가할 수 있도록 하기 위해.
• 아일랜드 위치 $ a $ 에 대한 극값 조건 $ \frac{dS}{da} = 0 $ 을 수치적으로 풀어, 정규화 체계에서 $ \mu \to 0 $ 일 때에도 엔트로피가 여전히 특이함을 보임을 밝혀내기 위해.

Figure 2 : The island configuration for two-sided black hole considered in [ 41 ] .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증발하는 스카우지르드 블랙홀에 대해 아일랜드 공식이 유 bounds된 얽힘 엔트로피를 도출하는가?
• RQ2 아일랜드 엔트로피 공식에서 나타나는 $ \frac{c b}{6 r_h} $ 항의 기원은 무엇이며, 왜 이는 무한한 증가를 유도하는가?
• RQ3 특히 크루스칼 좌표계에서 작은 블랙홀 질량에서 표준 양자 극값 표면 규정이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 열역학적 좌표를 사용한 정규화가 $ r_h \to 0 $ 에서 아일랜드 엔트로피의 특이성을 해결할 수 있는가?
• RQ5 무한한 엔트로피 행동은 레이스너-노르트스트롬 또는 dS 블랙홀과 같은 다른 정적 블랙홀로 일반화되는가?

주요 결과

• 블랙홀 질량이 감소함에 따라 아일랜드 구성에서의 얽힘 엔트로피는 $ \frac{c b}{6 r_h} $ 항이 작은 $ r_h $ 에서 지배적이므로 무한히 증가한다.
• $ \frac{c b}{6 r_h} $ 항은 아일랜드 공식의 물질 엔트로피 기여에서 기인하며, $ r_h \to 0 $ 극한에서 특이성이 발생하여 유 bounds된 엔트로피를 가정하는 것이 무효화된다.
• 유도 과정에서 사용된 크루스칼 좌표계는 작은 $ G $ 또는 $ r_h $ 에서 특이성이 발생하여 엔트로피 계산에서 물리적으로 비합리적인 행동을 유도한다.
• 아일랜드 위치 $ a $ 의 극값 조건은 $ a \approx r_h $ 를 유도하지만, 이는 물질 엔트로피 항의 $ 1/r_h $ 발산을 억제하지 못한다.
• 열역학적 좌표를 사용한 정규화는 특이성을 제거하고 $ r_h \to 0 $ 극한에서 엔트로피를 유한하게 평가할 수 있도록 하여 일관된 엔트로피 계산의 길을 제시한다.
• 무한한 엔트로피 행동은 스카우지르드 블랙홀에만 국한되지 않으며, 레이스너-노르트스트롬, dS 및 기타 정적 블랙홀에서도 유사한 문제가 발생함을 보여, 아일랜드 프로그램 전반에 걸친 더 넓은 문제임을 시사한다.

Figure 3 : Dependence of $S_{Island}$ on $M$ (green lines). The dashed lines show $S^{\prime}_{Island,M}$ . The red dashed line shows the location of the Planck mass.