[논문 리뷰] A note on local higher regularity in the dynamic linear relaxed micromorphic model

Sebastian Owczarek, Ionel‐Dumitrel Ghiba외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 09.

Thermoelastic and Magnetoelastic Phenomena참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 차분 몰입도의 에너지 추정을 이용하여 동적 선형 이완 미크로형 모델에서 해의 국소적 고차 정규성(regularity)을 확립한다. 매끄러운 초기 조건을 가정할 경우, 변위장 𝑢는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻²_loc(Ω))에 속하고, 미크로변형도 텐서 𝑃는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹_loc(Ω))에 속하며, Curl 𝑃는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹(Ω))에 속함을 증명한다. 이는 자연스러운 H¹ 및 H(Curl) 정규성보다 크게 향상된 결과이다.

ABSTRACT

We consider the regularity question of solutions for the dynamic initial-boundary value problem for the linear relaxed micromorphic model. This generalized continuum model couples a wave-type equation for the displacement with a generalized Maxwell-type wave equation for the micro-distortion. Naturally solutions are found in ${ m H}^1$ for the displacement $u$ and ${ m H}({ m Curl})$ for the microdistortion $P$. Using energy estimates for difference quotients, we improve this regularity. We show ${ m H}^1_{ m loc}$-regularity for the displacement field, ${ m H}^1_{ m loc}$-regularity for the micro-distortion tensor $P$ and that ${ m Curl}\,P$ is ${ m H}^1$-regular if the data is sufficiently smooth.

연구 동기 및 목표

• 동적 초기경계값 문제에 대한 해의 개선된 국소 정규성을 선형 이완 미크로형 모델에서 확립하기 위해.
• 유한요소법의 수치 수렴에 대한 격차를 메우기 위해 해장의 고차 정규성을 증명하기 위해.
• 정적 경우에 비해 동적 설정이 미크로변형도 장에 대해 향상된 제어를 제공함을 보여주기 위해.
• 매끄러운 초기 자료 조건 하에서 자연스러운 H(Curl) 설정을 초월해 미크로변형도 텐서 𝑃의 정규성을 H¹_loc(Ω)까지 확장하기 위해.
• 동적 모델의 운동에너지가 𝑃의 모든 약한 도함수에 대해 국소적으로 L²에서 제어 가능함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 변위 𝑢 및 미크로변형도 𝑃의 차분 몰입도에 에너지 추정을 적용하기 위해.
• 분석을 도메인의 컴acts 부분집합으로 국소화하기 위해 가중치를 가진 커팅 함수 η를 사용하기 위해.
• 𝑢𝑡, 𝑃𝑡 및 그들의 차분 몰입도를 포함하는 시간 미분 에너지 항등식 유도하기 위해.
• 시간에 대한 에너지 추정을 통합하고, 그로워발의 부등식을 적용하여 에너지를 유계로 제한하기 위해.
• 특히 Curl Curl 𝑃 항을 포함한 이완 미크로형 방정식의 구조를 활용하여 고차 도함수를 제어하기 위해.
• 코른의 부등식 및 벡터 미적분 항등식을 활용하여 𝑢 및 𝑃의 약한 도함수와 에너지 추정을 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 이완 미크로형 모델에서 변위장 𝑢의 정규성이 H¹_loc(Ω)을 초월하여 향상될 수 있는가?
• RQ2 초기 자료가 충분히 매끄럽다면, 사전에 H(Curl; Ω)에만 속하는 것으로 알려진 미크로변형도 텐서 𝑃가 H¹_loc(Ω) 정규성을 갖는가?
• RQ3 동적 설정에서 에너지 추정을 통해 미크로변형도의 시간 도함수 𝑃𝑡가 H¹_loc(Ω)에서 제어될 수 있는가?
• RQ4 동적 설정이 정적 경우에 비해 𝑃의 약한 도함수에 대해 얼마나 더 좋은 제어를 제공하는가?
• RQ5 Curl Curl 𝑃 항의 존재가 해장의 정규성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초기 미크로변형도 𝑃(0)가 𝐻¹_loc(Ω)에 속할 경우, 변위장 𝑢는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻²_loc(Ω))에 속한다.
• 초기 자료가 충분히 정규적일 경우, 미크로변형도 텐서 𝑃는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹_loc(Ω))에 속한다.
• 모든 시간 𝑇 > 0 에서, 미크로변형도의 컬, 즉 Curl 𝑃는 𝐿∞(0,𝑇;𝐻¹(Ω))에 속한다.
• 차분 몰입도에 대한 에너지 추정과 그로워발의 부등식을 조합함으로써, 차분 몰입도 단위 크기와 무관한 균일한 유계를 확보할 수 있다.
• 향상된 정규성은 운동에너지 항이 고차 도함수를 제어할 수 있도록 하는 동적 설정의 결과이다.
• 이 결과는 도메인 내부에서 H¹ × H¹ 유한요소를 사용하는 표준 FEM 구현의 수렴성을 정당화한다.