[논문 리뷰] A Note on Oracle Separations for BQP

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Aaronson의 2010년 BQP와 BPP_path 또는 SZK 사이의 오ракูล 분리에 대한 주장에서 약간의 오류를 수정하며, 정교한 구성 방법을 통해 두 분리 결과를 복구한다. 새로운 오라클 분리 결과를 도출한다: Simon의 문제를 통해 BQP ⊄ SZK, P^SZK ⊄ QSZK, P^SZK ⊄ BPP_path를 증명하며, SZK 및 QSZK 프로토콜을 위한 함수를 강화하기 위해 새로운 체크비트 변환을 도입한다.

ABSTRACT

In 2009, using the $ extsf{Fourier Checking}$ problem, Aaronson claimed to construct the relativized worlds such that $ extsf{BQP} ot\subset \mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$. However, there are subtle errors in the original proof. In this paper, we point out the issues, and rescue these two separations by using more sophisticated constructions. Meanwhile, we take the opportunity to study the complexity classes $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{SZK}$. We give general ways to construct functions which are hard for $ extsf{SZK}$ and $\mathsf{BPP_{path}}$ (in the query complexity sense). Using these techniques, we give alternative construction for the oracle separation $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$, using only Simon's problem. We also give new oracle separations for $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $ extsf{QSK}$. The latter result suggests that $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ might be strictly larger than $ extsf{SZK}$.

연구 동기 및 목표

• Aaronson의 2010년 BQP와 BPP_path 또는 SZK 사이의 오라클 분리에 대한 증명에서 약간의 오류를 식별하고 수정한다.
• BQP ⊄ BPP_path 및 BQP ⊄ SZK로 주장된 오라클 분리 결과를 복구하기 위한 엄밀하고 대체 가능한 구성 방법을 제공한다.
• 질의 복잡도 모델에서 SZK 및 BPP_path 기반의 오라클 분리에 적합한 함수를 생성하는 일반적인 방법을 개발한다.
• P^SZK ⊄ QSZK 및 P^SZK ⊄ BPP_path와 같은 새로운 오라클 분리를 확립하며, 이는 SZK가 P^SZK에 엄격히 포함됨을 뒷받침하는 증거를 제공한다.

제안 방법

• Forrelation 문제를 딱딱한 사례로 사용하여 BPP_path 기계가 거의 k-독립적인 분포를 정확히 구분할 수 없음을 증명함으로써 BQP ⊄ BPP_path 분리를 복구한다.
• Aaronson, Ben-David, 및 Kothari의 체트시트 구성 방법을 변형하여, 질의 복잡도가 큰 임의의 함수에 대해 체크비트 형태를 만든다.
• 질의 복잡도 R(f) 또는 Q(f)가 큰 임의의 함수 f로부터 f_chk를 구성하며, 이는 질의 모델에서 SZK 및 QSZK 프로토콜에 대해 어렵다.
• 하이브리드 추론과 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여, f_chk에 대해 QSZK 프로토콜이 존재한다면, 다항수의 질의를 사용하는 양자 알고리즘이 f^{⊗ c}를 비중요한 성공 확률로 해결할 수 있음을 보이며, 이는 알려진 하한값과 모순된다.
• 체크비트 변환을 적용하여 P^SZK^O ⊄ QSZK^O를 증명하며, 이는 QSZK에 대한 첫 번째 비자명한 오라클 분리이다.
• 체크비트 구성과 질의 모델에서 BPP_path 기계에 대해 어렵게 만들 수 있는 새로운 방법을 조합하여 P^SZK^O ⊄ BPP_path^O를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-독립성 기반의 원래 증명에서 오류가 있음에도 불구하고, BQP ⊄ BPP_path로 주장된 오라클 분리를 복구할 수 있는가?
• RQ2 Forrelation보다 더 단순한 구성으로 BQP ⊄ SZK를 오라클 분리로 달성할 수 있는가?
• RQ3 함수 f의 체크비트 변환은 질의 복잡도 모델에서 SZK 및 QSZK 프로토콜에 대해 경직성을 유지하는가?
• RQ4 오라클 세계에서 P^SZK는 QSZK보다 엄격히 큰가? 이는 비자명한 오라클 분리로 증명될 수 있는가?
• RQ5 질의 복잡도 설정에서 BPP_path 기계에 대해 어렵게 만들 수 있는 일반적인 방법을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 BPP_path 기계가 거의 k-독립적인 분포를 구분할 수 없음을 증명함으로써 BQP ⊄ BPP_path 오라클 분리를 복구하며, Forrelation 문제가 질의 모델에서 BPP_path에 대해 어렵다는 것을 보여준다.
• Simon의 문제를 활용한 새로운 구성 방법을 통해 BQP ⊄ SZK 오라클 분리를 확립하며, Forrelation 기반 증명에 비해 더 단순한 대안을 제공한다.
• 질의 복잡도가 큰 함수 f의 체크비트 변환을 통해 생성된 함수 f_chk는 질의 모델에서 어떤 SZK 또는 QSZK 프로토콜에 대해서도 어렵다.
• 논문은 첫 번째 비자명한 오라클 분리 결과인 P^SZK^O ⊄ QSZK^O를 증명하며, 이는 P^SZK가 QSZK보다 엄격히 크다는 것을 시사한다.
• P^SZK^O ⊄ BPP_path^O를 확립하여, SZK가 P^SZK에 엄격히 포함됨을 뒷받침하는 증거를 제공한다.
• 논문은 질의 복잡도 모델에서 BPP_path 기계에 대해 어렵게 만들 수 있는 함수를 생성하는 일반적인 방법을 구성하며, 이는 새로운 오라클 분리를 가능하게 한다.