[논문 리뷰] A note on Ramsey numbers for minors

Maria Axenovich, Steiner, Raphael|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 11.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 모든 그래프 F에 대해 비점근적으로 R_h(F;2)를 결정하고(따라서 R_h(k)와 R_h(k;2)), 또한 ℓ≫k≫1일 때 R_h(k;ℓ)의 점근해를 제시하여 미소-최소값과 Myers–Thomason 상수를 연결한다.

ABSTRACT

Let $R_h(k; \ell)$ be the smallest integer $n$ such that any edge coloring of a complete graph on $n$ vertices in $\ell$ colors results in a monochromatic $K_k$-minor, in other words, a graph with Hadwiger number $k$, i.e., a graph that could be transformed into a clique $K_k$ on $k$ vertices via a sequence of edge contractions and vertex deletions. More generally, for a graph $F$ and integer $\ell$ let $R_h(F;\ell)$ be the smallest integer $n$ such that any edge coloring of a complete graph on $n$ vertices in $\ell$ colors results in a monochromatic $F$-minor. In 2001 Thomason and in 2005 Myers and Thomason asymptotically determined the extremal numbers for clique minors and $F$-minors, respectively. They found the respective explicitly computable leading constants $β=0.265656...$ and $γ(F)\cdot β$ for these extremal numbers. We determine $R_h(F;2)$ for every graph $F$ as $$R_h(F;2)=(γ(F)+o(1))|V(F)|\sqrt{\log_2(|V(F)|)},$$ where the $o(1)$-term tends to zero as $|V(F)| ightarrow \infty$. In particular, $$R_h(k;2)=(1+o(1))k\sqrt{\log_2 k}.$$ When $\ell\gg k \gg 1$, we show that $$ R_h(k; \ell) = (2β+o(1)) \ell k \sqrt{\log_2 k}.$$

연구 동기 및 목표

• Hadwiger 수의 맥락에서 소도형-Ramsey 수 R_h(F;ℓ)와 R_h(k;ℓ)를 동기화하고 정의한다.
• 모든 F에 대해 R_h(F;2)의 점근값을 결정한다(따라서 R_h(k;2)와 R_h(k)을 포함).
• ℓ≫k≫1일 때 R_h(k;ℓ)의 점근적 거동을 결정한다.
• Ramsey-미노어 수를 Thomason, Myers, Thomason의 극한 결과와 연결한다.
• R_h(3), R_h(4)와 같은 작은 k의 정확한 값 및 상한/하한을 제시한다.

제안 방법

• F의 c(F)와 γ(F)에 대한 Myers–Thomason 결과를 이용하여 확률적 구성과 밀도 논증을 통해 R_h(F;2)를 도출한다.
• 임의의 색칠 및 미노어 임베딩 임계값(정리 1.5–1.7)을 사용한 상하한 기법으로 R_h(F;2)를 경계한다.
• 부분그래프의 최소 차수나 높은 연결성 등과 관련된 경우를 다루기 위해 밀도 및 연결성 기반의 논증을 사례 분석으로 적용한다.
• 작은 k에 대한 정확한 값(예: R_h(3)=5, R_h(4)=7)을 케이스 분석과 알려진 미노어 극한 bounds를 통해 도출한다.
• 두 색상 및 다색 구간으로 확장을 통해 R_h(k;2)=(1+o(1))k√log k 및 R_h(k;ℓ)≈2βℓk√log k와 같은 큰 ℓ의 점근으로 이끌어 간다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 그래프 F(k)에 대해 소도형-램지 수 R_h(F;2)의 점근적 거동은 어떠한가?
• RQ2 R_h(k;2)가 γ(F) 매개변수 및 Myers–Thomason 상수와 어떤 관계를 가지는가?
• RQ3 ℓ이 k보다 훨씬 큰 경우 R_h(k;ℓ)의 점근적 형태는 무엇인가?
• RQ4 작은 k에 대해 R_h(3) 및 R_h(4)와 같은 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 희소 그래프(예: 트리나 별 그래프)와 같은 경우에 소도형-Ramsey 프레임워크가 정확한 결과를 낼 수 있는가, 어떤 상황에서 가능한가?

주요 결과

• R_h(F;2) = (γ(F) + o(1)) k √(log k) for every graph F on k vertices, hence R_h(k) = (1 + o(1)) k √(log k).
• R_h(3) = 5 and R_h(4) = 7; for k ≥ 5, 2k−2 ≤ R_h(k) ≤ 32(k−2) ⌊log(k−2)⌋ + 1.
• For ℓ ≫ k ≫ 1, R_h(k;ℓ) = (2β + o(1)) ℓ k √(log k), where β = 0.265656...; and R_h(3;ℓ) = 2ℓ + 1.
• The constants γ(F) and β from Myers–Thomason govern the density-based lower/upper bounds via c(F) ≈ γ(F) β k √(log k).
• The work confirms the two-color minor-Ramsey asymptotics and provides the large-ℓ regime, linking to complete-minor extremal results and density arguments.