[논문 리뷰] A note on S(T) and the zeros of the Riemann zeta-function

D. A. Goldston, S. M. Gonek|ArXiv.org|2005. 11. 03.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설을 전제로 할 때 리만 제타함수의 임계선 상에서의 로그의 매개변수를 측정하는 함수 $ S(t) $ 에 대한 기존에 알려진 최고의 경계를 정밀화한다. 군다인-바일의 명시적 공식을 개선하고 최적의 파arameter를 가진 스무딩된 시험 함수를 사용하여, $ 0 < h \leq \sqrt{t} $ 에 대해 $ |S(t+h) - S(t)| \leq \left(\frac{1}{2} + o(1)\right)\frac{\log t}{\log\log t} $ 를 증명한다. 이는 고전적 추정치의 상수를 개선하고, 영점의 중복도 및 간격 크기의 더 날카운 경계를 이끌어낸다.

ABSTRACT

Let $πS(t)$ denote the argument of the Riemann zeta-function at the point $\frac12+it$. Assuming the Riemann Hypothesis, we sharpen the constant in the best currently known bounds for $S(t)$ and for the change of $S(t)$ in intervals. We then deduce estimates for the largest multiplicity of a zero of the zeta-function and for the largest gap between the zeros.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설을 전제로 할 때 리만 제타함수의 임계선 상에서의 매개변수 함수 $ S(t) $ 에 대한 현재까지 알려진 최고의 상한 경계를 향상시키는 것.
• 고전적 리틀우드 추정치 $ S(t) \ll \frac{\log t}{\log\log t} $ 의 상수를 개선하여, 명시되지 않은 상수에서 $ \frac{1}{2} + o(1) $ 으로 감소시키는 것.
• 제타함수의 영점의 최대 중복도와 연속된 비자명한 영점 사이의 최대 간격에 대한 더 날카운 추정치를 도출하는 것.
• 길이 $ h \leq \sqrt{t} $ 인 간격 동안 $ S(t) $ 의 변화가 $ \left(\frac{1}{2} + o(1)\right)\frac{\log t}{\log\log t} $ 이하로 제한됨을 증명하여 이전 결과를 향상시키는 것.

제안 방법

• 저자들은 짝수 전체 함수 $ F_{+} $ 와 $ F_{-} $ 로부터 유도된 스무딩된 시험 함수 $ F(w) $ 에 대해 군다인-바일의 명시적 공식을 적용한다. 이 함수들은 간격의 특성 함수를 상하로 둘러싸는 데 사용된다.
• 이들 함수의 성질—특히 $ |x| \geq \delta $ 에서 0이 되는 그들의 푸리에 변환 $ \hat{F}_{\pm}(x) $ 과 그들의 감쇠 행동—을 이용하여 명시적 공식 내 오차 항을 제어한다.
• 시험 함수의 매개변수 $ L $ 과 $ \delta $ 는 $ \pi\delta = \log\log t - 2\log\log\log t $ 로 설정함으로써 주항목과 오차항 사이의 균형을 맞춘다.
• 함수 $ h(w) = F(w - t) $ 에 명시적 공식을 적용함으로써, 영점의 합을 감마 함수의 로그 미분, 제타함수의 명시적 공식, 그리고 소수 거듭제곱에 대한 합과 연결한다.
• 주항목은 감마 함수의 로그 미분에서 유래되며, 스타링의 공식을 통해 근사화된다. $ n $ 에 대한 합은 푸리에 변환의 감쇠성과 자명한 추정치를 이용하여 유계화된다.
• 최종적으로, $ (t-L, t+L] $ 내의 영점 수에 대한 부등식을 도출한 후, 이를 평균화 방법을 통해 $ S(t+h) - S(t) $ 와 결국 $ S(t) $ 자체의 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설 하에서 고전적 추정치 $ S(t) \ll \frac{\log t}{\log\log t} $ 의 상수를 개선할 수 있는가?
• RQ2 길이 $ h \leq \sqrt{t} $ 인 간격에서 $ S(t) $ 의 변화에 대한 최적의 경계는 무엇이며, 이는 영점 간격과 중복도 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 개선된 $ S(t) $ 경계를 사용하여 제타함수의 영점 중복도를 더 날카운 경계로 제한할 수 있는가?
• RQ4 개선된 $ S(t) $ 경계는 임계선 상의 연속된 비자명한 영점 사이의 최대 간격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 주항목의 계수로 $ \frac{1}{2} $ 의 정확한 상수를 달성할 수 있는가, 아니면 여전히 명시되지 않은 상수로 남아 있는가?

주요 결과

• 논문은 리만 가설 하에서 $ 0 < h \leq \sqrt{t} $ 에 대해 $ |S(t+h) - S(t)| \leq \left(\frac{1}{2} + o(1)\right)\frac{1}{\log\log t} \log t $ 라는 경계를 확립한다. 이는 고전적 추정치의 상수를 향상시킨다.
• 또한 $ t $ 가 충분히 크면 $ |S(t)| \leq \left(\frac{1}{2} + o(1)\right)\frac{\log t}{\log\log t} $ 를 증명하며, 주항목에서 $ \frac{1}{2} $ 가 정확한 상수임을 확인한다.
• 영점 $ \frac{1}{2} + i\gamma $ 에서의 최대 중복도 $ m(\gamma) $ 는 $ \gamma $ 가 크면 $ m(\gamma) \leq \left(\frac{1}{2} + o(1)\right)\frac{\log \gamma}{\log \log \gamma} $ 를 만족한다.
• 연속된 비자명한 영점 사이의 최대 간격 $ \gamma' - \gamma $ 는 $ \gamma' - \gamma \leq \frac{\pi}{\log\log \gamma}(1 + o(1)) $ 를 만족하며, 이는 리만 가설 하에서 정확한 상한 경계이다.
• 저자들은 군다인-바일의 명시적 공식에서 매개변수를 최적화하고, 제어된 푸리에 변환과 감쇠 성질을 가진 스무딩된 시험 함수를 사용함으로써 이를 달성한다.
• 핵심 혁신은 오차항을 주항목에 대해 최소화하기 위해 선택된 $ \pi\delta = \log\log t - 2\log\log\log t $ 의 정밀한 균형 조정에 있다.