[논문 리뷰] A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities

Mousomi Bhakta|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 빌리프로지믹 연산자와 여러 개의 임계 비선형성을 포함하는 특이한 잠재력이 있는 네 번째 차수 타원형 방정식에 대한 비자명한 약한 해의 존재성과 비존재성을 조사한다. Pohozaev 유형의 항등식을 사용하여 $1 < q < 2^{**}$일 때 비존재성을 증명하고, $q = 2^{**}$ 및 $-(N-2)^2 ≤ \mu < \mu_1$일 때는 팔라스-스무스 수열과 동차성 불변성의 세밀한 분석을 통해 경쟁하는 임계 비선형성을 균형 잡는 방식으로 마운틴패스 정리에 의해 존재성을 확립한다.

ABSTRACT

We study the existence and non-existence of nontrivial weak solution of $$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad extrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$ where $N\geq 5$, $q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$, $0

연구 동기 및 목표

• 다양한 임계 비선형성을 포함하는 반선형 비틀림 방정식의 비자명한 약한 해의 존재성과 비존재성을 분석하는 것, $\mathbb{R}^N$, $N \geq 5$.
• 비선형성의 경쟁으로 인해 발생하는 도전 과제를 다루는 것, 특히 $q = 2^{**}$일 때 $|u|^{q_\beta-2}u/|x|^\beta$ 및 $|u|^{2^{**}-2}u$ 항이 존재할 경우.
• 확대 변환에 대한 동차성 불변성으로 인한 컴actness의 부족을 해결하기 위해 적절한 에너지 수준에서 팔라스-스무스 수열을 구성하는 것.
• 특히 $\mu < \mu_1$ 및 $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$일 때, 특이한 잠재력을 포함하는 네 번째 차수 방정식에 변분 방법을 확장하는 것.

제안 방법

• Pohozaev 유형 항등식을 사용하여 $1 < q < 2^{**}$일 때 해의 비존재성을 증명하는 것.
• Ambrosetti와 Rabinowitz의 마운틴패스 정리를 사용하여 $q = 2^{**}$ 및 $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$일 때 비자명한 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• Rellich 및 Sobolev 부등식에 의해 $D^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 위에서 $C^1$인 에너지 함수 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 - \frac{1}{q_\beta}\int \frac{|u|^{q_\beta}}{|x|^\beta}dx - \frac{1}{2^{**}}\int |u|^{2^{**}}dx$ 를 정의하는 것.
• 확대 불변성을 통한 에너지 기여의 균형 조절을 통해 한 비선형성의 지배를 피하기 위해 임계 에너지 수준에서 팔라스-스무스 수열을 구성하는 것.
• 반지름 대칭성과 반지름 극값 상수 $S_{\mu,0}^{rad}$ 및 $S_{\mu,\beta}^{rad}$를 사용하여 $\mu < 0$일 경우 존재성을 회복하는 것, 특히 $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$일 경우.
• Schauder 추정 및 정규성 이론을 적용하여 약한 수렴하는 부분수열의 약한 극한 $v_0$가 원점 외부에서 고전적인 $C^4$ 해임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다음과 같은 비틀림 방정식 $\Delta^2 u - \mu \frac{u}{|x|^4} = \frac{|u|^{q_\beta-2}u}{|x|^\beta} + |u|^{q-2}u$ 이 $\mathbb{R}^N$ 에서 비자명한 약한 해를 갖는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 왜 표준 마운틴패스 정리는 $q = 2^{**}$일 때 해를 생성하지 못하며, 이 실패는 어떻게 극복할 수 있나요?
• RQ3 두 개의 임계 비선형성 간의 경쟁은 해의 존재성 또는 비존재성에 어떤 역할을 하나요?
• RQ4 특히 $\mu < 0$일 때 $\mu$의 부호와 크기는 해의 존재성에 어떻게 영향을 미치나요?
• RQ5 두 비선형성이 모두 임계일 경우, 확대 변환에 대한 동차성 불변성 $u(x) \mapsto t^{(N-4)/2}u(tx)$을 어떻게 활용하여 해를 구성할 수 있나요?

주요 결과

• 비자명한 약한 해의 비존재성은 $1 < q < 2^{**}$일 때 Pohozaev 유형 항등식을 통해 증명된다.
• $q = 2^{**}$ 및 $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$일 때 비자명한 약한 해가 존재하며, 마운틴패스 정리를 통해 증명된다.
• 임계 에너지 수준는 두 임계 비선형성의 기여를 균형 잡기 위해 선택되며, 한 쪽이 다른 쪽을 지배하지 않도록 한다.
• 팔라스-스무스 수열은 비자명한 극한 $v_0$로 약하게 수렴하며, 정규성 이론을 통해 $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 에서 고전적인 해임이 증명된다.
• $\mu < 0$일 경우, 반지름 극값과 반지름 상수 $S_{\mu,0}^{rad}$ 및 $S_{\mu,\beta}^{rad}$를 사용하여 존재성 결과를 확장할 수 있으며, 이 상수들은 항상 도달 가능하다.
• 해 $v_0$ 는 원점 외부에서 $C^4$-연속이며, 비선형성의 초선형 성장은 $\Delta^2 v_0$ 의 국소 리프시츠 정규성을 보장한다.