[논문 리뷰] A note on some summations due to Ramanujan, their generalization and some allied series

Arjun K. Rathie, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 18.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Karlsson-Minton 공식과 Dixon의 정리를 사용하여 Ramanujan의 초함수 급수 합계를 일반화하고, Pochhammer 기호와 감마 함수를 포함하는 ${}_3F_2$ 및 ${}_4F_3$ 급수에 대한 닫힌 형태 평가를 도출한다. 주요 결과로는 $\pi$, $\Gamma$-함수 및 디감마 함수로 표현된 Ramanujan 유형 급수의 정확한 평가가 포함되며, $S_p = \Gamma(p)/\Gamma^2(p+1/2)$와 같은 특수 케이스에 응용된다.

ABSTRACT

In this short note, we aim to discuss some summations due to Ramanujan, their generalizations and some allied series

연구 동기 및 목표

• 고급 합계 정리들을 사용하여 초함수 급수를 포함하는 Ramanujan의 합계를 일반화하는 것.
• $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ 및 $p+1$과 관련된 매개수를 가진 일반화된 ${}_3F_2$ 및 ${}_4F_3$ 초함수 급수를 평가하는 것.
• Pochhammer 기호와 분모에 선형 항의 역수를 포함하는 급수에 대한 정확한 닫힌 형태 표현식을 유도하는 것.
• 일반화된 Karlsson-Minton 합계 공식을 사용하여 Ramanujan의 원래 결과를 통합하고 확장하는 것.
• 이차 및 고차 Pochhammer 비율을 포함하는 무한 급수를 평가하기 위한 체계적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 정수 매개수 이동을 가진 ${}_{r+2}F_{r+1}$ 급수에 대해 일반화된 Karlsson-Minton 합계 공식을 활용한다.
• 매개수 $a=b=\frac{1}{2}$, $c=\frac{1}{4}$ 및 관련 조합을 가진 ${}_3F_2$ 급수에 대해 Dixon의 합계 정리를 적용한다.
• 분모가 $c-a-b>0$인 경우에 대해 Gauss의 합계 정리를 ${}_2F_1$ 급수에 적용한다.
• $(n+1)\cdots(n+p)$와 같은 분모를 가진 급수를 Pochhammer 기호 항등식을 사용하여 초함수 형태로 변환한다.
• 표현식 $S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} \frac{1}{b + n\mu}$를 초함수 변환을 통해 ${}_2F_1$ 함수로 감소시킨다.
• 한계 처리 및 디감마 함수 $\psi(z)$의 특수 값들을 사용하여 매개수가 일치하는 경우를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ramanujan의 원래 합계, 즉 $\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^2$를 포함하는 것은 어떻게 고차 초함수 급수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 급수 $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{1}{(n+1)\cdots(n+p)}$에 대한 닫힌 형태 평가를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 Karlsson-Minton 공식은 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ 및 $p+1$과 같은 이동된 매개수를 가진 ${}_3F_2$ 및 ${}_4F_3$ 급수를 평가하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 매개수 $b \neq c$ 및 $b = c$일 경우, $S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} \frac{1}{(1+n/b)(1+n/c)}$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 특정 매개수를 대입했을 때, 결과가 Ramanujan의 $\frac{\pi^{3/2}}{2\sqrt{2}\Gamma^2(\frac{3}{4})}$와 같은 알려진 항등식으로 어떻게 축소되는가?

주요 결과

• 급수 $S_p = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{1}{(n+1)\cdots(n+p)}$는 정수 $p \geq 1$에 대해 정확히 $\frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}$로 평가된다.
• $p=1$일 때 $S_1 = \frac{4}{\pi}$; $p=2$일 때 $S_2 = \frac{16}{9\pi}$; $p=3$일 때 $S_3 = \frac{128}{225\pi}$이다.
• $b=c=\frac{1}{4}$일 때, 일반화된 급수 $S = {}_3F_2\left[\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4};\frac{5}{4},\frac{5}{4};1\right]$는 Ramanujan의 항등식 $\frac{\pi^{5/2}}{8\sqrt{2}\Gamma^2(\frac{3}{4})}$로 축소된다.
• $b \neq c$일 경우, $S = \frac{\pi^{1/2}bc}{b-c}\left(\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c+\frac{1}{2})} - \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(b+\frac{1}{2})}\right)$를 얻으며, $b=c$일 경우 디감마 함수를 포함한 한계 형태가 존재한다.
• $m=1$일 때, 급수 $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{n+f}{(n+1)\cdots(n+p)} = \frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}\left(f + \frac{1}{4(p-1)}\right)$이며, $p \geq 2$일 때 성립한다.
• $m=2$일 때, 평가는 $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{(n+f)(n+f+1)}{(n+1)\cdots(n+p)} = \frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}\left(f(f+1) + \frac{f+1}{2(p-1)} + \frac{9}{16(p-1)(p-2)}\right)$를 제공하며, $p \geq 3$일 때 성립한다.