[논문 리뷰] A note on splitting numbers for Galois covers and $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets

Taketo Shirane|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 갈루아 코버링 하에서 매끄러운 복소다양체의 부분다양체에 대한 분할 수(splitting numbers)를 도입하여, 특정 호메오멀피즘 하에서 불변임을 증명한다. 이 불변량을 시마다의 평면곡선의 형식 (b, m)에 대한 동형성 가중 가중족 Fb,m에 적용함으로써, 가중족의 서로 다른 연결성분에 속한 곡선들이 기본군이 동일하더라도 위상적으로 구별 가능하다는 것을 보인다. 주요 결과는 임의의 k ≥ 2에 대해 π₁-동치인 자라이 k-펠릿을 구성함으로써, 기존의 쌍을 초월해 이러한 k-펠릿의 존재를 해결하는 데 성공한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce extit{splitting numbers} of subvarieties in a smooth variety for a Galois cover, and prove that the splitting numbers are invariant under certain homeomorphisms. By splitting numbers, we give a necessary and sufficient condition for two plane curves of type $(b,m)$ to be topologically equivalent as pairs of the complex projective plane and plane curves, where a plane curve of type $(b,m)$ is an arrangement of two smooth plane curves of degree $3$ and $b$ defined by I.~Shimada. Consequently, we prove that there are $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets for any $k\geq2$.

연구 동기 및 목표

• 갈루아 코버링 하에서 부분다양체의 분할 수를 정의하고, 이를 위상적 불변량으로 연구하는 것.
• Fb,m의 서로 다른 연결성분에 속한 (b, m) 형식의 곡선들이 자라이 쌍을 이룬다는 문제 0.3를 해결하는 것.
• 모든 k ≥ 2에 대해 π₁-동치인 자라이 k-펠릿의 존재를 증명함으로써, 기존의 자라이 쌍 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 갈루아 코버링 φ에 대해 부분다양체 C의 분할 수 sφ(C)를 정의한다. 이는 C의 피복의 정규화에서의 연결성분 수로 정의된다.
• 에탈 코버링과 선다발의 기하학을 이용하여 분할 수를 곡선의 Pic0에서의 나눗셈의 차수와 연결한다.
• 곡선 B에 따라 분지하는 차수 m의 단순 순환 코버링 이론을 적용하여, B와의 교차가 m의 배수인 곡선 C의 분할 수를 계산한다.
• 시마다의 동형성 가중 가중족 Fb,m(µ)의 구조를 활용하여, E의 분할 수를 Pic0(E)에서의 특정 분류의 차수와 연결한다.
• 정규화와 비라시오널 사상의 성질을 이용하여, 코버링의 구조를 유지하는 호메오멀피즘 하에서 분할 수가 불변임을 증명한다.
• 정리 2.7을 활용하여 특정 차수의 중간 곡선의 존재를 통해 분할 수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본군이 동일한 경우에도 분할 수가 평면곡선의 위상적 성질을 식별할 수 있는가?
• RQ2 Fb,m의 서로 다른 연결성분에 속한 (b, m) 형식의 두 곡선이 분할 수를 통해 위상적으로 구별 가능한가?
• RQ3 모든 정수 k ≥ 2에 대해 π₁-동치인 자라이 k-펠릿이 존재하는가?
• RQ4 갈루아 코버링에서 곡선 E의 분할 수는 Pic0(E)에서의 분류의 차수에 의해 결정되는가?
• RQ5 기본군이 동일한 경우, 불변량 sφ(C)는 P² 내의 곡선의 비호메오멀피즘 임bedding을 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 분할 수 sφ(C)는 갈루아 코버링의 구조를 유지하는 호메오멀피즘 하에서 불변이다.
• (b, m) 형식의 곡선에 대해, E의 분할 수는 sφ(E) = m/µ로 주어지며, 여기서 µ는 Pic0(E)에서 [OE(DR − nH)]의 차수이다.
• Fb,m의 서로 다른 연결성분에 속한 R1과 R2 곡선은 분할 수가 다를 때이고, 그때에만 자라이 쌍을 이룬다.
• Fb,m의 연결성분의 수는 m의 약수의 수와 같으며, 각 성분은 고정된 분할 수와 대응된다.
• 모든 k ≥ 2에 대해 π₁-동치인 자라이 k-펠릿이 존재하며, 이는 F5k−1,5k−1에서 k개의 서로 다른 성분을 선택하여 구성된다.
• 이 구성은 π₁-동치인 자라이 k-펠릿이 모든 k ≥ 2에 대해 존재함을 확인하며, 분야 내에서 열려 있던 질문에 답한다.