[논문 리뷰] A note on strong convergence of implicit scheme for SDEs under local one-sided Lipschitz conditions

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형성의 강도가 초과선형적으로 증가하는 경우에도 안정적인 수치해를 제공할 수 있도록, 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트 계수를 갖는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 수정된 $\theta$-EM 은둔적 스킴의 강한 수렴성을 확립한다. 이는 일반적으로 요구되는 전역 또는 국소 리프시츠 조건보다 약한 조건이다. 잘 정의됨을 보장하기 위해 잘라내기 기법을 도입함으로써, 저자들은 수치해가 스텝 크기가 0으로 갈수록 평균 제곱수렴을 보임을 증명한다.

ABSTRACT

Under a local one-sided Lipschitz condition, Krylov [KR] proved the existence and uniqueness of the strong solutions for stochastic differential equations by using the Euler-Maruyama approximation, where he showed that the sequence of numerical solutions converges to the true solution in probability as the stepsize tends to zero. In this note, we shall extend the results in [KR] and investigate an implicit numerical scheme for these equations under a local one-sided Lipschitz condition.

연구 동기 및 목표

• SDEs에 대해 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 암묵적 수치해법의 강한 수렴 결과 부족 문제를 해결하기 위해.
• 표준 $\theta$-EM 스킴이 잘 정의되기 위해 전역 한쪽 방향 리프시츠 조건이 필요하다는 한계를 극복하기 위해.
• 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 존재성과 유일성을 보장하기 위해 잘라내기 기법을 사용한 수정된 $\theta$-EM 스킴을 개발하기 위해.
• 초과선형적으로 증가하는 드리프트 계수를 갖는 SDEs에 대해 수정된 스킴이 진짜 해로의 평균 제곱수렴을 확립하기 위해.
• Euler-Maruyama 및 탐두드 스킴에 대한 이전 결과를 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 더 약한 미분 가능성 조건을 갖는 드리프트에 대해 암묵적 스킴으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 드리프트 계수를 수정하기 위해 잘라내기 함수를 도입하여, 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서도 수정된 $\theta$-EM 스킴이 잘 정의됨을 보장한다.
• 수치해의 성장률을 제어하고 모멘트 유계를 확보하기 위해 정지시간 $\nu_{\triangle}$을 정의한다.
• 이토 공식과 그로워발의 부등식을 사용하여 정확한 해와 수치해 사이의 오차에 대한 모멘트 추정을 유도한다.
• 요우지 부등식과 모멘트 유계를 적용하여 폭발 사건과 꼬리 사건의 확률을 제어한다.
• 레마 2.5를 통해 수치해에 대한 사전 모멘트 유계를 확립하여 초과선형 성장 케이스에서의 발산을 피한다.
• 삼각부등식과 $L^2$-노름 제어를 통해 오차 성분의 추정치를 결합하여 최종 수렴 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 계수가 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건만 만족할 경우, $\theta$-EM과 같은 암묵적 수치해법이 SDEs에 대해 강한 수렴성을 갖는가?
• RQ2 표준 $\theta$-EM 스킴이 전역 한쪽 방향 리프시츠 조건이 필요하므로, 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 잘 정의된 암묵적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ3 잘라내기 기법을 적용한 수정된 $\theta$-EM 스킴이 초과선형적으로 증가하는 드리프트 계수를 갖는 SDEs에 대해 여전히 강한 수렴성을 유지하는가?
• RQ4 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 수정된 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 잘라내기 기법이 Euler-Maruyama 스킴이 유사 조건에서 실패할 경우 모멘트 폭발을 방지하고 수렴을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 드리프트 계수에 잘라내기 기법을 적용한 수정된 $\theta$-EM 스킴은 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서도 존재성과 유일성을 보장한다.
• 스킴은 진짜 해로의 평균 제곱수렴을 보인다: $\mathbb{E}\left(\sup_{0\leq t\leq T}|X(t)-Y_{\Delta}(t)|^{2}\right) \to 0$ as $\Delta \to 0$.
• 드리프트 계수가 초과선형적으로 증가하는 경우에도 수렴이 성립하여, 표준 Euler-Maruyama 스킴의 알려진 한계를 극복한다.
• 잘라내기 기법은 드리프트의 성장률을 효과적으로 제어하여 모멘트 유계를 확보하고 수치해의 발산을 방지한다.
• 정지시간 접근, 모멘트 추정, 그로워발의 부등식을 조합하여 수렴을 증명하였으며, 최종 유계는 $M_{g(\Delta)}\Delta^{1/2}$와 $g(\Delta)^{-p}$에 의존한다.
• 이 논문은 국소적 한쪽 방향 리프시츠 조건 하에서 수렴 속도를 도출하는 문제를 열어두었으며, 이 작업에서 그러한 속도는 확보되지 않았다.