[논문 리뷰] A note on sum and difference of correlated chi-squared variables

Alberto Ferrari|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 24.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 관련된 카이제곱 분포 변수의 합과 차를 각각 감마 분포와 변동성-감마 분포를 사용하여 단순하고 민감한 근사치를 제안한다. 이 방법은 평균과 분산 기반의 매개수화를 통해 다양한 상관관계 수준에서 정확한 피팅을 달성하며, 공통 척도 또는 공통 형상 매개수를 가진 감마 변수로의 일반화도 가능하다.

ABSTRACT

Approximate distributions for sum and difference of linearly correlated $χ^{2}$ distributed random variables are derived. It is shown that they can be reduced to conveniently parametrized gamma and Variance-Gamma distributions, respectively. The proposed distributions are very flexible, and the one for sum in particular has straight-forward generalizations to cases where multiple $χ^{2}$ variables with different parameters are involved. The results promptly extend to every sum of gamma variables with common scale and to every difference between gamma variables with common shape and scale. The fit of the distributions is tested on simulated data with remarkable results.The approximations presented are expected to be especially useful to researchers working on gamma-distributed variables.

연구 동기 및 목표

• 공통 또는 다름 없는 자유도를 가진 선형적으로 관련된 카이제곱 분포 변수의 합 분포에 대해 실용적이고 일반화 가능한 근사치를 개발하는 것.
• 특히 상관계수 ρ가 1에 가까워지는 경우에 관련된 카이제곱 분포 변수의 차에 대한 근사치를 확장하는 것.
• 공통 척도 또는 공통 형상 매개수를 가진 감마 분포 변수의 합과 차에 대해 결과를 일반화하는 것.
• 다양한 종속성 구조 하에서 시뮬레이션된 데이터와의 경험적 피팅을 평가하는 것.
• 일반화된 고유함수를 포함하는 정확하지만 복잡한 표현들에 대한 계산적으로 효율적인 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 관련된 카이제곱 분포 변수의 합을 형상 매개수 $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $ 와 척도 매개수 $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ 를 가진 감마 분포로 매개수화하여 일차 및 이차 모멘트를 일치시킨다.
• 총 자유도와 상호 쌍별 상관관계에 따라 $ N $개의 변수로의 합 근사치를 일반화한다.
• 동일하게 분포된 두 카이제곱 분포 변수의 차를 위치 0, 척도 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $, 형상 매개수 $ \frac{2}{m} $ 를 가진 변동성-감마 분포로 모델링하여 평균이 0이고 분산이 $ 1 - \rho $ 에 따라 스케일링되도록 보장한다.
• 모멘트 생성 함수 분석을 통해 $ \rho = 0 $ 인 경우 차 분포가 변동성-감마 분포와 일치함을 보이고, 척도 매개수를 스케일링하여 $ 0 \leq \rho < 1 $ 으로 확장한다.
• 공통 형상과 척도를 가진 일반 감마 변수에 동일한 매개수화를 적용하여 차 분포에 대한 닫힌 형태의 근사치를 도출한다.
• 시뮬레이션을 통해 근사치를 검증하며, 양자분위수 함수 및 이元 카이제곱 분포 샘플링 방법 하에서 경험적 분포를 피팅된 감마 및 변동성-감마 밀도와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통 척도를 가진 두 개의 관련 카이제곱 분포 변수의 합이 특수 함수를 요구하지 않고 상관관계를 고려한 감마 분포로 정확하게 근사될 수 있는가?
• RQ2 유한 표본에서 일반화된 고유함수를 통한 정확한 분포와 비교해 볼 때, 제안된 감마 근사치의 성능은 어떠한가?
• RQ3 공통 자유도를 가진 두 개의 관련 카이제곱 분포 변수의 차 분포가 상관계수가 증가함에 따라 변동성-감마 분포로 잘 근사되는가?
• RQ4 제안된 근사치가 공통 척도를 가진 감마 변수의 합과 공통 형상 및 척도를 가진 감마 변수의 차로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 다변량 정규분포 기반 제곱화에서 벗어난 종속성 구조, 예를 들어 양자분위수 함수 기반 시뮬레이션에서 근사치가 여전히 강건한가?

주요 결과

• 공통 자유도 $ m $ 를 가진 두 개의 관련 카이제곱 분포 변수의 합은 형상 매개수 $ \frac{m}{1 + \rho} $ 와 척도 매개수 $ 2(1 + \rho) $ 를 가진 감마 분포로 잘 근사된다. 이는 일차 및 이차 모멘트를 일치시킨다.
• 자유도가 다를 경우 $ m_1 \neq m_2 $, 합은 형상 매개수 $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $ 와 척도 매개수 $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ 를 가진 감마 분포로 근사되며, 이는 올바른 평균과 분산을 유지한다.
• 공통 $ m $ 자유도를 가진 두 개의 관련 카이제곱 분포 변수의 차는 위치 0, 척도 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $, 형상 매개수 $ \frac{2}{m} $, 비대칭도 0을 가진 변동성-감마 분포로 근사된다.
• 차 분포에 대한 변동성-감마 근사치는 0의 평균과 분산 $ 4m(1 - \rho) $ 를 유지하며, 이는 상관계수에 따라 적절히 스케일링된다.
• 시뮬레이션 결과, 이원 카이제곱 분포에서 데이터를 추출할 경우 감마 근사치가 정확한 분포와 거의 동일한 정도로 데이터에 피팅되며, 특히 양자분위수 함수 방법을 사용할 경우 정확한 분포보다 우수한 성능을 보여, 종속성 구조에 대해 강건함을 시사한다.
• 제안된 근사치는 공통 척도를 가진 감마 변수의 합과 공통 형상 및 척도를 가진 감마 변수의 차로 직접 일반화되며, 통계적 모델링에 넓은 적용 가능성을 제공한다.