[논문 리뷰] A note on the equivalence of Lagrangian and Hamiltonian formulations at post-Newtonian approximations

Rongchao Chen, Xin Wu|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 12.

Pulsars and Gravitational Waves Research참고 문헌 32인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 1PN 라그랑지안 형식과 해밀토니안 형식 간의 이론적이고 수치적으로 동일한 결과를 보여주며, 상대론적 원형 제한 삼체 문제에 대한 1PN 라그랑지안을 분석함으로써 이를 입증한다. 수렴하는 무한차수 테일러 전개를 사용하여, 저차수 라그랑지안이 고차수 해밀토니안과 동일하다는 것을 보이며, 이는 충분히 높은 PN 차수에서 이러한 형식이 동일해진다는 주장을 뒷받침하고, 이는 이전의 혼란스러운 혼돈 역학 예측의 모순을 해결한다.

ABSTRACT

It was claimed recently that a low order post-Newtonian (PN) Lagrangian formulation, which corresponds to the Euler-Lagrange equations up to an infinite PN order, can be identical to a PN Hamiltonian formulation at the infinite order from a theoretical point of view. This result is difficult to check because in most cases one does not know what both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian are at the infinite order. However, no difficulty exists for a special 1PN Lagrangian formulation of relativistic circular restricted three-body problem, where both the Euler-Lagrange equations and the equivalent Hamiltonian not only are expanded to all PN orders but also have converged functions. Consequently, the analytical evidence supports this claim. As far as numerical evidences are concerned, the Hamiltonian equivalent to the Euler-Lagrange equations for the lower order Lagrangian requires that they both be only at higher enough finite orders.

연구 동기 및 목표

• 유한한 PN 차수에서 후뉴턴역학의 라그랑지안과 해밀토니안 형식이 동등한가에 대한 오랫동안 지속된 논쟁을 해결하기 위해.
• 특히 적분 가능성과 혼돈에 관해, 저차수 PN 라그랑지안과 해밀토니안 형식 간의 역학적 차이를 조사하기 위해.
• 저차수 라그랑지안이 고차수 해밀토니안 형식과 동등할 수 있음을 분석적이고 수치적으로 입증하기 위해.
• 주어진 라그랑지안에 대해 무한차수 또는 충분히 높은 PN 차수에서 동등한 해밀토니안이 존재한다는 이론적 주장의 검증을 위해.
• 스피닝된 밀집 이원성에서 혼란스러운 결과가 발생하는 이유를 밝혀내기 위해, 높은 PN 차수에서만 동등성이 나타남을 보여주기 위해.

제안 방법

• 레지오나르드 원형 제한 삼체 문제에 대한 1PN 라그랑지안 형식에서 레지오나르드 변환을 사용하여 해밀토니안을 유도한다.
• 오일러-라그랑주 방정식과 해당 해밀토니안을 모두 무한차수 PN 순서까지 수렴하는 테일러 급수로 전개한다.
• 고정밀 심플렉틱 적분기를 사용하여 운동 방정식을 수치적으로 통합하여 다양한 PN 차수 간의 궤도를 비교한다.
• 빠른 리아프누프 지표(FLI)를 적용하여 다양한 PN 근사에서 정규 궤도와 혼돈 궤도를 구분한다.
• 다른 근사(ELk, Hk)와 전체 무한차수 해(EL, H) 사이의 위치 편차 |Δr| = |rk − rH| 를 시간에 따라 비교한다.
• 분리 거리 a 에 대한 매개변수 스윕을 수행하여 역학적 동등성이 상대론적 효과에 따라 어떻게 달라지는지 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대론적 원형 제한 삼체 문제에서 1PN 라그랑지안 형식은 그에 해당하는 무한차수 해밀토니안 형식과 동등한가?
• RQ2 오일러-라그랑주 방정식과 해밀토니안 방정식의 저차수 PN 근사(예: 1PN)가 전체 무한차수 근사와 비교해 상당히 다른 역학적 행동을 보이는가?
• RQ3 어느 PN 차수에서 근사 ELk 와 Hk 가 정확한 무한차수 해 EL 과 H 와 역학적으로 동등해지는가?
• RQ4 혼돈 지표인 FLI 는 다양한 PN 근사에서 어떻게 변화하며, 고차수에서 동일한 행동으로 수렴하는가?
• RQ5 수치적 증거로 저차수 라그랑지안이 고차수 해밀토니안 형식과 동등하다는 이론적 주장이 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 1PN 라그랑지안 형식은 오일러-라그랑주 방정식과 그에 해당하는 해밀토니안을 모두 무한차수 테일러 급수로 수렴시켜 정확한 분석적 비교를 가능하게 한다.
• 수치적 결과는 1PN 라그랑지안과 그에 해당하는 해밀토니안이 충분히 높은 PN 차수에서만 역학적으로 동등하다는 것을 보여주며, EL12 와 H12 는 전체 무한차수 해와 매우 유사하게 일치한다.
• ELk 와 H(또는 Hk 와 EL) 사이의 위치 편차 |Δr| 는 k 가 증가함에 따라 크게 감소하며, k = 12 일 때 t = 10,000 에서 약 10⁻⁷ 수준에 도달하여 거의 동일한 궤도를 이룬다.
• 큰 분리 거리(a ≥ 140)에서는 모든 PN 근사(ELk, Hk)가 전체 해와 역학적으로 구분되지 않으며, 이는 상대론적 효과가 감소하기 때문이다.
• 작은 분리 거리(a < 100)에서는 저차수 근사와 전체 해 사이에 여전히 역학적 차이가 존재하며, EL1 과 H1 은 상당한 발산을 보인다.
• 빠른 리아프누프 지표(FLI)는 혼돈 영역과 정규 영역이 높은 PN 차수에서만 일치함을 확인하여, 무한차수 극한에서 두 형식 간의 동등성이 뒷받침됨을 보여준다.