[논문 리뷰] A Note on the Sum of Correlated Gamma Random Variables

José F. Paris|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 02.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 4인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 라우리켈라 함수를 이용하여 상관관계가 있는 일반화된 감마 랜덤 변수들의 합에 대한 정확한 닫힌형 표현식인 확률 밀도 함수 (PDF) 및 누적 분포 함수 (CDF)를 유도한다. 모멘트 생성 함수를 활용하고 이를 비정상 라우리켈라 함수 $\Phi_2^{(N)}$와 연결함으로써, 특히 최대 비율 복합 시스템에서의 출력 확률 분석에 적용 가능한 간결한 해석적 표현식을 제공한다.

ABSTRACT

The sum of correlated gamma random variables appears in the analysis of many wireless communications systems, e.g. in systems under Nakagami-m fading. In this Letter we obtain exact expressions for the probability density function (PDF) and the cumulative distribution function (CDF) of the sum of arbitrarily correlated gamma variables in terms of certain Lauricella functions.

연구 동기 및 목표

• 임의의 상관관계가 있는 감마 랜덤 변수들의 합에 대한 정확한 해석적 표현식을 도출하는 것.
• 기존의 무한 급수 표현식을 개선하여 PDF 및 CDF를 간결한 닫힌 형식으로 표현하는 것.
• 상관관계가 있는 Nakagami-$m$ fading 환경에서 무선 시스템의 성능 평가를 정확히 가능하게 하는 것.
• 다양한 통신 시스템 모델에 적용 가능한 특수 함수를 활용한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 변형된 상관행렬의 고유값을 기반으로 상관관계가 있는 감마 변수들의 합의 모멘트 생성 함수(MGF)를 유도한다.
• 라플라스 변환 역행렬을 통해 MGF와 비정상 라우리켈라 함수 $\Phi_2^{(N)}$ 사이의 관계를 설정한다.
• 행렬 $A = DC$를 구성한다. 여기서 $D$는 척도 매개변수 $\beta_n$를 포함하고, $C$는 $\sqrt{\rho_{ij}}$를 통해 상관 계수를 표현하며, $\lambda_n$은 행렬 $A$의 고유값이다.
• CDF 및 PDF는 $\Phi_2^{(N)}$를 사용하여 $-y/\lambda_n$을 인수로 포함하여 표현되며, 정확한 계산이 가능하다.
• 이 표현식은 기존 결과를 일반화하며, $N=1$이고 $\alpha=m$일 경우 표준 Nakagami-$m$ 분포로 축소된다.
• 유도 과정은 적분 표현식과 문헌에서 알려진 비정상 라우리켈라 함수에 대한 항등식에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 상관관계가 있는 감마 랜덤 변수들의 합이 무한 급수를 피하는 닫힌 형식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 어떤 특수 함수가 이러한 합의 PDF 및 CDF에 대해 간결한 표현을 제공하는가?
• RQ3 상관관계가 있는 감마 변수들의 모멘트 생성 함수가 다변수 초함수로 변환될 수 있는가?
• RQ4 상관관계-척도 행렬의 고유값과 그로 인해 유도되는 합의 분포 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 독립적이거나 동일한 분포를 가진 감마 변수의 경우 이러한 표현식은 어느 정도 단순화되는가?

주요 결과

• 합 $Y = \sum_{n=1}^N X_n$의 CDF는 $F_Y(y) = \frac{y^{N\alpha}}{\det(A)^\alpha \Gamma(1+N\alpha)} \Phi_2^{(N)}(\alpha,\ldots,\alpha; 1+N\alpha; -y/\lambda_1, \ldots, -y/\lambda_N)$ 로 주어진다.
• 합 $Y$의 PDF는 $f_Y(y) = \frac{y^{-1+N\alpha}}{\det(A)^\alpha \Gamma(N\alpha)} \Phi_2^{(N)}(\alpha,\ldots,\alpha; N\alpha; -y/\lambda_1, \ldots, -y/\lambda_N)$ 로 표현된다.
• $N=1$일 경우, $\alpha = m$ 이고 $\beta_1 = \bar{\gamma}/m$ 이면, 이 표현식은 Nakagami-$m$ 랜덤 변수의 제곱에 대한 표준 CDF 및 PDF로 축소된다.
• 유도된 표현식은 정확하고 간결하여 이전 연구에서 다루는 무한 급수 표현식의 수렴 문제를 피한다.
• 이 방법을 통해 상관관계가 있는 Nakagami-$m$ fading 채널에서 최대 비율 복합(MRC) 시스템의 출력 확률을 직접 계산할 수 있다.
• 비정상 라우리켈라 함수 $\Phi_2^{(N)}$의 사용은 상관관계가 있는 fading 환경에서의 성능 평가를 위한 통합적이고 해석적으로 접근 가능한 프레임워크를 제공한다.