[논문 리뷰] A note on the very ampleness of complete linear systems on blowings-up of P^3

Cindy De Volder, Antonio Laface|ArXiv.org|2004. 09. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ℙ³의 r개의 일반적인 점들이 매끄러운 쌍곡면 위에 놓여 있을 때 그 점들에 대한 블로우업에서 완전 선형계의 매우 충분성, 기저점 자유성, 비특수성에 대한 필수 및 필요조건을 설정한다. 코homological 기법과 점의 수에 대한 귀납법을 사용하여, 선형계 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ|가 매우 충분한 것은 mᵣ > 0, d ≥ m₁ + m₂ + 1, 그리고 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3일 때이므로 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

In this note we consider the blowing-up X of P^3 along r general points of the anticanonical divisor of a smooth quadric in P^3. Given a complete linear system |L| = |dH - m_1 E_1 -...- m_r E_r| on X, with H the pull-back of a plane in P^3 and E_i the exceptional divisor corresponding to P_i, we give necessary and sufficient conditions for the very ampleness (resp. base point freeness and non-speciality) of L. As a corollary we obtain a sufficient condition for the very ampleness of such a complete linear system on the blowing-up of P^3 along r general points.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 쌍곡면 위에 있는 r개의 일반적인 점들에 대한 ℙ³의 블로우업에서 완전 선형계의 매우 충분성에 대한 필요 및 충분조건을 규명하는 것.
• 그러한 선형계의 기저점 자유성과 비특수성의 특성화.
• 기약 항등산분열을 가진 유리 표면의 결과를 고차원 블로우업으로 일반화하는 것.
• 특히 쌍곡면 위에 있지 않은 r개의 일반적인 점들에 대해서도 매우 충분성의 충분조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 매끄러운 쌍곡면 위의 r개의 일반적인 점들에 대한 ℙ³의 블로우업 X를 고려하며, H는 평면의 pullback이고 Eᵢ는 예외적 분해이다.
• 선형계 |dH − ∑mᵢEᵢ|를 분석하기 위해 코homological 소멸성과 가상 차원 공식을 적용한다.
• 예외적 분해 Eᵢ와 쌍곡면의 엄밀한 전이 Qᵣ에 대한 제한을 포함하는 정확한 수열을 사용하여 0차원 스킴의 분리성을 연구한다.
• r에 대한 귀납법과 Qᵣ 위의 선형계의 구조를 활용하여 매우 충분성을 증명한다.
• 2d ≥ ∑_{i=1}^4 mᵢ 이고 d ≥ m₁ + m₂ − 1 이면 시스템이 비특수임을 보여주는 정리 3.1을 활용한다.
• 기약 항등산분열을 가진 유리 표면에서 선형계의 매우 충분성에 관한 결과 [8]을 Qᵣ에 제한하여 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 쌍곡면 위에 있는 r개의 일반적인 점들에 대한 ℙ³의 블로우업에서 완전 선형계가 매우 충분한 데 필요한 필수 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 선형계가 기저점 자유성 또는 비특수성일 조건은 무엇인가?
• RQ3 쌍곡면 표면의 기하학적 성질이 다수의 기저점이 있는 선형계의 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 매우 충분성 조건을 쌍곡면 위에 있지 않은 r개의 일반적인 점들로 확장할 수 있는가?
• RQ5 항등산분열이 선형계의 차원과 기저점 집합을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 매끄러운 쌍곡면 위에 있는 r개의 일반적인 점들에 대한 ℙ³의 블로우업에서 완전 선형계 |dH − m₁E₁ − ⋯ − mᵣEᵣ|는 mᵣ > 0, d ≥ m₁ + m₂ + 1, 그리고 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 3일 때에만 매우 충분하다.
• 시스템이 기저점 자유일 조건은 d ≥ m₁ + m₂ 이고 4d ≥ m₁ + ⋯ + mᵣ + 2일 때이다.
• 시스템이 비특수일 조건은 d ≥ m₁ + m₂ − 1 이고 2d ≥ m₁ + m₂ + m₃ + m₄ 이며, 4d ≥ ∑mᵢ 이면 성립한다.
• r ≤ 8일 경우, 점들이 일반적인 위치에 있으면 [5,6]의 기존 결과를 통해 차원과 기저점 집합을 계산할 수 있다.
• 오히려 일반성에 의해, 매우 충분성 조건은 ℙ³ 내의 r개의 일반적인 점들(항상 쌍곡면 위에 있지 않은 경우도 포함)으로 확장되며, 충분조건은 mᵣ > 0, d ≥ m₁ + m₂ + 1, 그리고 4d ≥ ∑mᵢ + 3 (r ≥ 9일 때)이다.
• 동일한 조건 하에서 쌍곡면의 엄밀한 전이에 대한 시스템의 제한은 매우 충분하며, 이는 0차원 스킴의 귀납적 분리를 가능하게 한다.