[논문 리뷰] A Note on Value Sets of Polynomials over Finite Fields

Leyla Işık, Alev Topuzoğlu|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 22.

Coding theory and cryptography인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한체 Fq (q ≥ 5, 홀수 소수 거듭제곱)에서 선형 순열을 n개의 점에서 수정하여 형성된 새로운 다항식 클래스 Fq,n을 소개한다. 이를 통해 주어진 값 집합(특히 F∗q의 부분군 또는 여류를 피하는 경우)을 갖는 다항식을 구성하는 방법을 제시하며, 크기가 2, 3, 4, q−n, q−n+1인 값 집합에 대한 완전한 기술을 제공한다. 주요 기여는 이러한 값 집합의 개수와 최대 개수를 명시적으로 기술함으로써 값이 균일하게 분포된 다항식을 구성할 수 있도록 한 점이며, 이는 이전의 특성 2 결과를 홀수 특성으로 확장한다.

ABSTRACT

Most results on the value sets $V_f$ of polynomials $f \in \mathbb{F}_q[x]$ relate the cardinality $|V_f|$ to the degree of $f$. In particular, the structure of the spectrum of the class of polynomials of a fixed degree $d$ is rather well known. We consider a class $\mathcal{F}_{q,n}$ of polynomials, which we obtain by modifying linear permutations at $n$ points. The study of the spectrum of $\mathcal{F}_{q,n}$ enables us to obtain a simple description of polynomials $F \in \mathcal{F}_{q,n}$ with prescribed $V_F$, especially those avoiding a given set, like cosets of subgroups of the multiplicative group $\mathbb{F}_q^*$. The value set count for such $F$ can also be determined. This yields polynomials with evenly distributed values, which have small maximum count.

연구 동기 및 목표

• 유한체 Fq에서 n개의 점에서 선형 순열을 수정하여 형성된 새로운 다항식 클래스 Fq,n의 스펙트럼을 연구하는 것.
• 특정 값 집합(예: 크기가 2, 3, 4인 작은 집합과 크기가 q−n, q−n+1인 큰 집합)을 갖는 Fq,n 소속 다항식에 대한 구성적 기술을 제공하는 것.
• 이러한 다항식의 값 집합 개수와 최대 개수를 결정하여 값이 균일하게 분포된 다항식을 구성할 수 있도록 하는 것.
• 특성 2에서 알려진 값 분포 결과를 홀수 특성으로 확장하기 위해, F∗q의 부분군의 여류를 피하는 다항식을 구성하는 것.

제안 방법

• Fq,n을 F(x) = f(x) + x로 정의하며, f ∈ Pq,n는 Fq에서 선형 다항식 g(x) = ax + b를 On 내의 n개의 서로 다른 점에서 수정하여 얻어진 순열이다.
• 모든 δ ∈ Fq에 대해 f(δ)를 모델링하기 위해 반복적으로 정의된 유리함수 표현 f(δ) = (...((c₀δ)^{q−2} + c₁)^{q−2} ... + cₙ)^{q−2}를 사용한다.
• 계수와 극점의 구조를 연결하기 위해 재귀식 αₖ = cₖ₋₁αₖ₋₁ + αₖ₋₂ 및 βₖ = cₖ₋₁βₖ₋₁ + βₖ₋₂ (α₀=0, α₁=c₀, β₀=1, β₁=0)를 활용하며, αₙ₊₁ = 0이 되도록 보장한다.
• 수정 점들을 명시적으로 구성하기 위해 On을 {xᵢ = −βᵢ/αᵢ : 1 ≤ i ≤ n}로 표현한다.
• 역과정을 적용: αₙ₊₁=0 이고 1≤i≤n일 때 αᵢ≠0인 유리함수 Pₙ(c₀,…,cₙ;x)가 주어지면, g(x)와 f(x)를 유일하게 복원할 수 있다.
• 이 프레임워크를 활용하여, 부분군 U ≤ F∗q의 여류를 피하는 등의 목적을 달성하기 위해, 군의 순서와 단위근의 성질에 기반한 매개변수를 선택하여 원하는 값 집합을 갖는 다항식을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 2에서의 결과를 홀수 특성으로 확장할 수 있는가? 즉, Fq에서 (홀수 특성) 값 집합의 크기가 2, 3, 4, q−n, 또는 q−n+1인 다항식을 체계적인 방법으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 F∗q의 부분군의 여류를 피하는 경우, F ∈ Fq,n인 다항식의 값 집합 VF를 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 이러한 다항식의 값 집합 개수와 최대 개수는 무엇이며, 값이 균일하게 분포된 다항식(예: 최대 개수 ≤2)을 얻을 수 있는가?
• RQ4 특성 2에서의 값 분포 결과(예: Cusick의 연구)를 이 구성 방법을 통해 홀수 특성으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• q = pr 이고 p > n(n+1일 때, a = −1, b = n(n−1)/2, On = {0, 1, 2, ..., n−1}이면 F(x)의 값 집합 크기 |VF| = n+1이며, 값 집합 개수는 (v₀ = q−n−1, v₁ = n, v_{q−n} = 1)이다.
• q ≡ 1 mod n 이고 ord(−a) = n일 때, On = {b∑_{j=0}^{n−i} (−1/a)^j : 1 ≤ i ≤ n} 이면 F(x)의 값 집합 크기 |VF| = q−n이며, 값 집합 개수는 (v₀ = n, v₁ = q−n−1, v_{n+1} = 1)이며, 모든 비영인 값은 정확히 한 번씩 나타난다.
• q ≡ 1 mod 2n 이고 ord(a) = 2n일 때, 구성 결과로 |VF| ≥ q−n 이며 최대 개수는 2 이하로 보장되어 값의 균일한 분포가 확보된다.
• a = −1 이고 b ≠ 0일 때, On = {(1−i)b : 1 ≤ i ≤ n−1}, xn = b 이면 값 집합은 VF = {0, b, nb}이며, 중복도는 m(0) = n−1, m(b) = q−n, m(nb) = 1이다.
• 임의의 부분군 U ≤ F∗q의 순서가 n일 때, a = −1/α 및 b = −ac (α는 U를 생성하는 원소)로 설정하면 F ∈ Fq,n이며, VF = Fq \ cU를 만족하여 cU의 모든 값이 피한다.
• 이 구성 방법은 특성 2에서의 Cusick의 결과를 홀수 특성으로 일반화하며, Fq,n에 속하는 다항식은 비영인 값에 대해 최대 개수 2 또는 1을 달성한다.