[논문 리뷰] A Novel Algebraic Geometry Compiling Framework for Adiabatic Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다항식 정수 최적화 문제를 이sov한 양자 컴퓨팅(AQC) 워크로드로 컴파일하기 위한 새로운 대수기하학 기반 프레임워크를 제안한다. 이는 토릭 아이디얼 위에서 그로버 기저 계산을 통해 고차수 다항식 문제를 QUBO 형식으로 체계적으로 감소시키며, 피브어 백터 및 불변 좌표 기법을 활용해 실현 가능한 마이너 임bedding을 가능하게 하고, 스펙트럼 갭을 분석적으로 모델링한다. 이는 AQC를 위한 첫 번째 일반 목적의 알고리즘 기반 번역기로서 양자 컴파일러 설계 및 이징 아키텍처 합성에 적용 가능하다.

ABSTRACT

Adiabatic Quantum Computing (AQC) is an attractive paradigm for solving hard integer polynomial optimization problems. Available hardware restricts the Hamiltonians to be of a structure that allows only pairwise interactions. This requires that the original optimization problem to be first converted -- from its polynomial form -- to a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) problem, which we frame as a problem in algebraic geometry. Additionally, the hardware graph where such a QUBO-Hamiltonian needs to be embedded -- assigning variables of the problem to the qubits of the physical optimizer -- is not a complete graph, but rather one with limited connectivity. This "problem graph to hardware graph" embedding can also be framed as a problem of computing a Groebner basis of a certain specially constructed polynomial ideal. We develop a systematic computational approach to prepare a given polynomial optimization problem for AQC in three steps. The first step reduces an input polynomial optimization problem into a QUBO through the computation of the Groebner basis of a toric ideal generated from the monomials of the input objective function. The second step computes feasible embeddings. The third step computes the spectral gap of the adiabatic Hamiltonian associated to a given embedding. These steps are applicable well beyond the integer polynomial optimization problem. Our paper provides the first general purpose computational procedure that can be used directly as a $translator$ to solve polynomial integer optimization. Alternatively, it can be used as a test-bed (with small size problems) to help design efficient heuristic quantum compilers by studying various choices of reductions and embeddings in a systematic and comprehensive manner. An added benefit of our framework is in designing Ising architectures through the study of $\mathcal Y-$minor universal graphs.

연구 동기 및 목표

• 하드웨어 제약 조건 하에 일반적인 다항식 정수 최적화 문제를 이sov한 양자 컴퓨팅(AQC) 워크로드로 컴파일하는 데 도전 과제를 해결한다.
• 현재 AQC 하드웨어의 한계를 극복한다. 즉, 상호작용을 이원상호작용으로 제한하고, 완전하지 않은 희박한 연결성 그래프만 지원한다.
• QUBO로의 감소, 임베딩 계산, 스펙트럼 갭 분석을 통합한 체계적이고 알고리즘 기반의 번역기를 개발한다.
• 대수기하학을 통해 $\mathcal{Y}$-마이너 유니버설 그래프를 식별함으로써 이징 양자 아키텍처의 원칙적인 설계를 가능하게 한다.
• 소규모 문제에서 임베딩과 감소를 체계적으로 연구할 수 있도록 허용함으로써 히وري스틱 양자 컴파일러 평가를 위한 테스트 베드를 제공한다.

제안 방법

• 목적 함수의 단항식에서 생성된 토릭 아이디얼의 그로버 기저를 계산하여 다항식 최적화 문제를 QUBO로 감소시킨다.
• 피브어 백터 구조와 불변 좌표에서 유도된 다항식 방정식의 시스템으로 문제 그래프에서 하드웨어 그래프로의 임베딩을 모델링한다.
• 제거 순서를 사용한 그로버 기저 계산을 통해 실현 가능한 임베딩을 결정하고 $\mathcal{Y}$-마이너 유니버설 그래프를 식별한다.
• 임베딩 다양체의 점에 대한 함수로 이sov한 해밀토니안의 스펙트럼 갭을 설정함으로써 임베딩 선택에 따른 분석적 의존성을 가능하게 한다.
• 고전적 불변 이론과 대수기하 도구를 활용하여 방정식을 명시적으로 풀지 않고도 임베딩 수를 세는 데 사용한다.
• 모든 단계를 통합된 프레임워크로 통합하여 전체 컴파일과 양자 컴파일러 히وري스틱의 실험적 테스트를 모두 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대수기하학을 활용하여 다항식 정수 최적화 문제를 체계적으로 QUBO 형식으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 그로버 기저는 AQC에서 문제 그래프에서 하드웨어 그래프로의 실현 가능한 마이너 임베딩을 계산하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이sov한 해밀토니안의 스펙트럼 갭은 임베딩 다양체의 구조와 어떻게 분석적으로 연관되는가?
• RQ4 주어진 문제 그래프 가족 $\mathcal{Y}$에 대해 $\mathcal{Y}$-마이너 유니버설 그래프의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 히وري스틱 양자 컴파일러 평가 및 설계를 위한 테스트 베드로 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 이 프레임워크는 다항식 정수 최적화 문제를 AQC 워크로드로 컴파일하기 위한 첫 번째 일반 목적의 알고리즘 기반 번역기를 제공한다.
• 다항식 문제의 QUBO로의 감소는 토릭 아이디얼 위에서의 그로버 기저 계산을 통해 이루어지며, 이는 체계적이고 원칙적인 변환을 보장한다.
• 실현 가능한 마이너 임베딩은 피브어 백터 및 대칭성 제약에서 유도된 다항식 방정식의 시스템을 풀어 계산되며, 그 해는 그로버 기저에 코딩되어 있다.
• 이sov한 해밀토니안의 스펙트럼 갭은 임베딩 다양체에 대해 분석적으로 의존하므로, 다양한 임베딩 선택에 따른 성능 예측이 가능하다.
• $\mathcal{Y}$-마이너 유니버설 그래프의 존재는 임베딩 시스템의 감소된 그로버 기저에 1이 존재하지 않을 때 보장되며, 이 모든 그래프와 임베딩은 기저에서 복원 가능하다.
• 이 프레임워크는 대수적 제약 조건을 통한 명시적 구성으로, 주어진 가족 $\mathcal{Y}$의 모든 그래프를 마이너로 포함하는 하드웨어 그래프를 식별함으로써 이징 아키텍처 설계를 가능하게 한다.