[논문 리뷰] A Novel Finite Difference Method for Euler Equations in 2D Unstructured Meshes

Meiyuan Zhen, Kun Qu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 25.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변형된 1차원 비균일 WENO 보간법을 모서리 스텐실에 적용하고, 정점에서 유량 발산을 최소제곱법으로 재구성함으로써 비정렬 메esh에서 2D 오일러 방정식을 해결하기 위한 새로운 고차 유한차법을 제시한다. 이 방법은 체적 적분이나 인위적 점성 없이도 고차 정확도와 견고한 충격 포착 능력을 확보하며, 표준 시험 케이스에서 뛰어난 효율성과 정확도를 보여준다.

ABSTRACT

Finite difference method was extended to unstructured meshes to solve Euler equations. The spatial discretization is made of two steps. First, numerical fluxes are computed at the middle point of each edge with high order accuracy. In this step, a one-dimensional curvilinear stencil is assembled for each edge to perform one-dimensional fast non-uniform WENO interpolation derived in this paper, which is much easier and faster than multi-dimensional interpolation. The second step is to compute the divergence of fluxes at each vertex from the fluxes at nearby edges and vertices by least square approximation of multi-dimensional polynomials. The order of the WENO interpolation in the first step and the degree of the polynomial in the second step determined the order of accuracy of the spatial scheme. After that, explicit RungeKutta time discrete scheme is used to update conservative variables. Several canonical numerical cases were solved to test the accuracy, performance and the capability of shock capturing of the developed method.

연구 동기 및 목표

• 구조적 격자가 필요로 하는 전통적 FDM의 제약을 극복하고 비정렬 메쉬에서도 작동하는 고차 유한차법을 개발하는 것.
• DG나 FR와 같은 요소 기반 방법에 의존하지 않고도 복잡한 기하구조에서 고차 정확도와 견고한 충격 포착 능력을 확보하는 것.
• 비정렬 모서리에서 다차원 보간 대신 1차원 WENO 스텐실을 사용함으로써 계산 효율성을 향상시키는 것.
• 제어체적과 수치적 적분이 필요 없도록 정점에서 최소제곱 근사법을 통해 직접적으로 유량 발산을 계산함으로써 이를 제거하는 것.
• 고차 정확도 WENO 보간법과 다항식 최소제곱 재구성의 조합을 통해 고차 정확도를 확보함으로써 매끄러운 해와 날카로운 충격 해상도를 동시에 확보하는 것.

제안 방법

• 공간 이산화는 두 단계로 수행된다: 첫째, 곡선형 1차원 스텐실과 비균일 WENO 보간법을 사용하여 모서리 중점에서 고차 수치 유량을 계산한다.
• 모든 모서리에서 5점 스텐실을 사용하여 WENO 재구성을 적용하며, 부드러운 영역에서는 고차 정확도를 유지하고 불연속성 근처에서는 제3차로 감소시키는 부드러움 지표로부터 유도된 비선형 가중치를 사용한다.
• 각 정점에서 유량 발산은 인접한 모서리와 정점의 유량 값들을 사용하여 다차원 다항식의 최소제곱 근사를 통해 계산된다.
• 이 방법은 각 모서리에 대해 국소적인 비이소엔트로피 특성을 포착하는 데 유리한 토폴로지 적응형 스텐실을 구성하여 정확도와 근접성(compactness)을 향상시킨다.
• 첫 번째 단계에서는 제5차 정확도의 WENO 보간법을 사용하고, 두 번째 단계에서는 제5차 다항식 재구성을 사용하여 총적으로 제5차 정확도를 갖는 공간 스킴을 도출한다.
• 시간 적분은 시간에 따라 보존 변수를 진행시키기 위해 명시적 룬게-쿠타 스킴을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차법이 구조적 격자가 필요 없이 비정렬 메쉬에서 고차 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 비정렬 유한차 스킴에서 고차 정확도와 충격 포착 능력을 동시에 확보할 수 있는가?
• RQ3 비정렬 메쉬에서 모서리 스텐실에 1차원 WENO 보간법이 다차원 보간보다 효율성과 정확도 면에서 뛰어나게 작용할 수 있는가?
• RQ4 제어체적이나 면 적분 없이 정점에서 유량 발산을 계산하는 최적의 방법은 무엇인가?
• RQ5 기존의 고차 방법인 DG나 FR과 비교해 복잡한 비정렬 격자에서 제안된 방법의 정확도와 성능는 어떠한가?

주요 결과

• 제조된 해에 대한 수렴 연구를 통해 매끄러운 영역에서 제5차 정확도를 확보함을 확인하였다.
• WENO 재구성에서 비선형 가중치 덕분에 불연속성 근처에서는 제3차로 감소함으로써 인위적 점성 없이도 강력한 충격파를 성공적으로 포착하였다.
• 모서리에 따라 1차원 WENO 스텐실을 사용함으로써 복잡한 기하구조에서 다차원 보간 대비 계산 효율성이 크게 향상되었다.
• 정점에서 최소제곱 유량 발산 재구성은 비정렬 및 비균일 메쉬에서도 정확하고 안정적인 결과를 제공하였다.
• 충격-소용돌이 상호작용, 더블 매크 반사 등의 표준 시험 케이스에 대한 수치 결과는 본 방법의 견고성, 정확도, 그리고 소용돌이와 충격과 같은 복잡한 유동 특징을 해상도하는 능력을 입증하였다.