[논문 리뷰] A Novel Method to Generate Key-Dependent S-Boxes with Identical Algebraic Properties

Ahmad Y. Al‐Dweik, Iqtadar Hussain외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 27인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 작용(Sₙ 및 S₂ⁿ)을 사용하여 부울 함수의 행과 열을 치환함으로써 동일한 대수적 성질—일대일성, 비선형성, стрict avalanche criterion(SAC), 비트 독립성 기준(BIC)—을 유지하는 키 기반 동적 S-박스를 생성하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 생성된 모든 클론 S-박스가 원본과 동일한 암호학적 강도를 유지함으로써 성능 지표를 훼손하지 않으면서도 안정적이고 동적일 수 있는 S-박스 생성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The s-box plays the vital role of creating confusion between the ciphertext and secret key in any cryptosystem, and is the only nonlinear component in many block ciphers. Dynamic s-boxes, as compared to static, improve entropy of the system, hence leading to better resistance against linear and differential attacks. It was shown in [2] that while incorporating dynamic s-boxes in cryptosystems is sufficiently secure, they do not keep non-linearity invariant. This work provides an algorithmic scheme to generate key-dependent dynamic $n imes n$ clone s-boxes having the same algebraic properties namely bijection, nonlinearity, the strict avalanche criterion (SAC), the output bits independence criterion (BIC) as of the initial seed s-box. The method is based on group action of symmetric group $S_n$ and a subgroup $S_{2^n}$ respectively on columns and rows of Boolean functions ($GF(2^n) o GF(2)$) of s-box. Invariance of the bijection, nonlinearity, SAC, and BIC for the generated clone copies is proved. As illustration, examples are provided for $n=8$ and $n=4$ along with comparison of the algebraic properties of the clone and initial seed s-box. The proposed method is an extension of [3,4,5,6] which involved group action of $S_8$ only on columns of Boolean functions ($GF(2^8) o GF(2)$ ) of s-box. For $n=4$, we have used an initial $4 imes 4$ s-box constructed by Carlisle Adams and Stafford Tavares [7] to generated $(4!)^2$ clone copies. For $n=8$, it can be seen [3,4,5,6] that the number of clone copies that can be constructed by permuting the columns is $8!$. For each column permutation, the proposed method enables to generate $8!$ clone copies by permuting the rows.

연구 동기 및 목표

• 기존의 키 기반 S-박스 생성 방법에서 관찰되는 불변 대수적 성질의 부족을 해결하기 위해.
• 비선형성, SAC, BIC와 같은 핵심 암호학적 성질이 동적으로 생성된 S-박스 클론 간에 유지되는 체계적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 예를 들어 AES S-박스와 같은 단 하나의 강력한 초기 S-박스로부터 다수의 안전하고 키 기반의 S-박스 변형을 생성할 수 있도록 하기 위해.
• 이전 연구에서 열 치환에 국한된 것을 넘어서 군 작용을 통해 행 치환까지 통합함으로써 기존 접근의 한계를 극복하기 위해.
• 동일한 암호학적 특성을 지닌 S-박스 클론을 생성하는 증명 가능하게 안전하고 효율적인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 S-박스의 부울 함수 표현(GF(2ⁿ) → GF(2))에 대해 대칭군 Sₙ을 열에, S₂ⁿ을 행에 적용하는 군 작용을 사용한다.
• 비밀 키에서 유도된 치환 σ₁과 σ₂가 S-박스의 이진 행렬 표현의 열과 행을 재조정하기 위해 적용된다.
• 변환 과정은 S-박스를 이진 행렬으로 변환하고, 행과 열에 각각 순열 행렬 P₁과 P₂를 적용한 후, 행렬 곱셈을 통해 새로운 S-박스를 재구성하는 방식이다.
• 알고리즘은 Maple으로 구현되었으며, 순열 행렬 생성, 이진 행렬 변환, S-박스 재구성 전용 절차가 포함되어 있다.
• 군 작용 대칭성을 활용한 공식적 증명을 통해 일대일성, 비선형성, SAC, BIC의 불변성을 보장한다.
• AES S-박스(n=8)와 4×4 S-박스(n=4)를 사용하여 검증되었으며, 각각 (4!)² = 576개와 8!×8!개의 클론 복제본을 생성하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성, SAC, BIC가 원본 S-박스와 동일하게 유지되면서 키 기반 S-박스를 생성할 수 있는가?
• RQ2 행과 열에 대한 군 작용을 통해 다수의 S-박스 클론 간에 일대일성과 암호학적 강도를 유지할 수 있는가?
• RQ3 행과 열의 순열을 어떻게 조합하여 다수의 암호학적으로 동치인 S-박스 변형을 생성할 수 있는가?
• RQ4 열 치환에 국한된 이전 접근 방식에 비해 제안된 방법이 우월한가?
• RQ5 단 하나의 강력한 S-박스(예: AES)를 사용하여 동일한 특성을 지닌 다수의 안전하고 동적일 수 있는 S-박스를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 생성된 클론 S-박스는 원본 S-박스의 비선형성을 그대로 유지한다: AES S-박스(n=8)의 경우 112이며, 4×4 S-박스의 경우도 112이다.
• Strict avalanche criterion(SAC)의 평균은 0.504883을 유지하며, 최대값은 0.5625, 최소값은 0.453125로 원본 S-박스와 정확히 일치한다.
• 비선형성과 SAC에 대한 비트 독립성 기준(BIC)은 원본과 클론 S-박스 간 평균 및 표준편차 값이 동일하게 나타나며, 각각 0.504604와 0.011271이다.
• n=8일 경우, 이 방법은 단 하나의 AES S-박스에서 8! × 8! = 1.6×10¹⁰개의 서로 다른 S-박스 클론을 생성할 수 있으며, 모두 동일한 대수적 성질을 지닌다.
• n=4일 경우, 이 방법은 (4!)² = 576개의 클론 S-박스를 생성하며, 동일한 암호학적 특성을 지닌다. 이는 확장성의 가능성을 보여준다.
• 이론적 증명을 통해 일대일성, 비선형성, SAC, BIC가 제안된 군 작용 기반 변환에 대해 불변임을 확인하였다.