[논문 리뷰] A novel public key cryptography based on generalized Lucas matrices

Kalika Prasad, Hrishikesh Mahato외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 16.

Advanced Mathematical Theories and Applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 루카스 행렬(GLM)을 기반으로 한 새로운 공개 키 암호 체계를 제안한다. 이는 유한체 위에서의 고차수 재귀 수열과 행렬 대수를 활용하며, 키 교환 및 행렬 구성에 단 두 개의 매개변수(λ, s)만을 사용함으로써 키 전송 오버헤드를 줄이고, 약 10^3920 이상의 천문학적 크기의 키 공간을 달성한다(p=37, λ=50일 때). 이는 이산 로그 문제에 기반하여 보안성을 강화하고, 엘가말 유사 키 협의 방식을 채택한 애피닌-힐 암호 프레임워크를 통해 효율적이고 안전한 암호화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this article, we have proposed a generalized Lucas matrix (recursive matrix of higher order) having relation with generalized Fibonacci sequences and established many special properties in addition to that usual matrix algebra. Further, we have proposed a modified public key cryptography using these matrices as keys in Affine cipher and key agreement for encryption-decryption with the combination of terms of generalized Lucas sequences under residue operations. In this scheme, instead of exchanging the whole key matrix, only a pair of numbers(parameters) need to be exchanged, which reduces the time complexity as well as space complexity of the key transmission and has a large key-space.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 루카스 행렬을 기반으로 한 새로운 공개 키 암호 체계를 개발하여 키 공간을 확대하고 전송 오버헤드를 감소시키는 것.
• 일반화된 루카스 수열에서 유도된 고차수 재귀 행렬 구조를 수립하여 가역성과 특수한 대수적 성질을 유지하는 것.
• 이러한 행렬을 애피닌-힐 암호 프레임워크에 통합하고 엘가말 스타일의 키 협의를 통해 안전한 암호화 및 복호화를 구현하는 것.
• 행렬 구성에서 이산 로그 문제의 난이도로 인해 브루트 포스 공격에 대해 계산적으로 안전한지 입증하는 것.
• 단 두 개의 매개변수(λ, s)만을 교환하면 되므로, 키 분배 시 시간 및 공간 복잡도가 크게 감소하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 저자는 일반화된 피보나치 행렬(GFM)의 트레이스를 사용하여 일반화된 루카스 수열(GLS)을 정의하고, λ 차수의 재귀적 행렬 구조를 수립한다.
• 그들은 일반화된 루카스 수열의 항들로부터 선형 조합으로 구성된 성분을 가진 일반화된 루카스 행렬(GLM)을 구성하며, 모든 λ ≥ 2에 대해 가역성을 보장한다.
• 키 행렬 K*는 L_λ^(-s) H^(-1)로 정의되며, H는 변환 행렬이고 L_λ^(s)는 일반화된 루카스 행렬이다. 이는 행렬의 역행렬 계산과 키 유도를 가능하게 한다.
• 암호화는 이동 벡터 B를 포함한 애피닌-힐 암호를 사용하며, 암호화는 C = (P - B)K mod p로 정의되고, 복호화는 P = (C - B)K* mod p로 정의된다.
• 공개 키는 행렬 K와 이동 벡터 B로 구성되며, 비밀 키는 λ와 s로부터 유도된다. 보안은 이산 로그 문제에 기반한다.
• 시스템은 유한체 F_p 위에서 구현되며, 예시에서는 p=37을 사용하고, 키 공간은 |GL_λ(F_p)|의 공식을 통해 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 재귀 수열에서 유도된 일반화된 루카스 행렬을 구성하면서도 가역성과 대수적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 루카스 행렬을 사용하여 공개 키 암호 체계에서 키 전송 오버헤드를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 유한체 위에서 일반화된 루카스 행렬을 기반으로 한 암호 체계의 키 공간 크기와 강도는 어느 정도인가?
• RQ4 이 행렬 기반 암호 체계에서 이산 로그 문제가 보안에 얼마나 기여하는가?
• RQ5 애피닌-힐 암호는 일반화된 루카스 행렬과 엘가말 스타일의 키 협의를 효과적으로 통합하여 안전하고 효율적인 공개 키 체계를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 일반화된 루카스 행렬 L_λ^(s)는 모든 λ ≥ 2에 대해 가역적이며, 이는 키 유도 및 복호화의 가능성을 보장한다.
• F_37에서 λ=50일 때 GLM의 키 공간 크기는 약 3.105 × 10^3920로, 브루트 포스 공격에 대해 계산적으로 불가능하다.
• 키 교환에 단 두 개의 매개변수(λ, s)만 필요하여, 전체 행렬을 전송하는 것에 비해 시간 및 공간 복잡도가 크게 감소한다.
• 서명 매개변수 s가 노출되어도 보안이 유지되며, 보안은 오직 λ와 이산 로그 문제에 의존한다.
• 복호화 행렬 K* = L_λ^(-s) H^(-1)는 L_λ^s K* = K* L_λ^s = I_λ를 만족하여 정확하고 일관된 복호화를 보장한다.
• 구현 예시에서는 유도된 키 행렬과 이동 벡터를 사용하여 암호문으로부터 원문 'NOBLE2022'을 성공적으로 복구하여 체계의 정확성을 검증한다.