[논문 리뷰] A Novel Three-Level Time-Split MacCormack Method for Solving Two-Dimensional Viscous Coupled Burgers Equations

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 29.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 점성 연합 버거 방정식을 해결하기 위한 새로운 3단계 명시적 시간분할 맥코머크 방법을 제안한다. 2차원 문제를 순차적인 1차원 연산으로 분할함으로써, 저 레이놀즈 수에서는 시간에 대해 2차 정확도와 공간에 대해 4차 수렴 속도를 달성하고, 고 레이놀즈 수에서는 시간과 공간에 모두 2차 수렴 속도를 보이며, 기존 방법들에 비해 향상된 효율성과 안정성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we analyze the three-level explicit time-split MacCormack procedure in the numerical solutions of two-dimensional viscous coupled Burgers' equations subject to initial and boundary conditions. The differential operators split the two-dimensional problem into two pieces so that the two-step explicit MacCormack scheme can be easily applied to each subproblem. This reduces the computational cost of the algorithm. For low Reynolds numbers, the proposed method is second order accurate in time and fourth convergent in space, while it is second order convergent in both time and space for high Reynolds numbers problems. This shows the efficiency and effectiveness of the considered method compared to a large set of numerical schemes widely studied in the literature for solving the two-dimensional time dependent nonlinear coupled Burgers' equations. Numerical examples which confirm the theoretical results are presented and discussed.

연구 동기 및 목표

• 점성 항을 포함한 2차원 비정 steady 비선형 연합 버거 방정식을 해결하기 위한 더 효율적이고 안정적인 수치적 방법을 개발한다.
• 시간분할 기법을 사용하여 2차원 문제를 순차적인 1차원 연산으로 분해함으로써 계산 비용을 감소시킨다.
• 저 레이놀즈 수 흐름에서는 높은 공간 정확도(4차)를 달성하면서도 고 레이놀즈 수 경우에도 2차 정확도를 유지한다.
• 특정 시간단계 제약 조건 하에서 제안된 방법의 안정성과 수렴 성질을 분석한다.
• 광범위한 수치 실험과 기존 방법들과의 비교를 통해 방법의 성능을 검증한다.

제안 방법

• 이 방법은 2차원 버거 방정식을 x 및 y 방향에 따라 순차적으로 해결하는 두 개의 1차원 하위문제로 분해하기 위해 3단계 명시적 시간분할 접근법을 사용한다.
• 각 하위문제는 첫 번째 도함수에 대해 상류 중심 차분을 사용하는 두 단계 명시적 맥코머크 예측-보정 방법으로 해결된다.
• 시간분할 전략은 공간 방향을 동시에 처리하는 대신 순차적으로 처리함으로써 명시적 방법의 안정성을 향상시킨다.
• 예측 단계에서는 전진 차분, 보정 단계에서는 후진 차분을 적용하여 불연속성 부근의 해상도를 향상시킨다.
• 특히 고 레이놀즈 수 흐름에서 중요한 안정성을 확보하기 위해 안정성 확보를 위한 시간단계 제약 조건을 유도한다.
• 초기 조건과 경계 조건을 일관되게 처리하기 위해 격자점을 이격형으로 사용하고, 정확도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간분할 맥코머크 방법은 저 레이놀즈 수 2차원 점성 연합 버거 방정식에서 공간 정확도를 4차로 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 고 레이놀즈 수 문제에서 제안된 방법의 시간 및 공간 수렴 속도는 각각 얼마인가?
• RQ3 시간분할 전략은 기존의 2차원 맥코머크 방법에 비해 안정성과 계산 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 고 레이놀즈 수 흐름에서 이 방법이 안정성이 확보되는 시간단계 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 고 레이놀즈 수 영역에서 매우 얇은 점성층을 해석할 때 이 방법은 정확도와 강건성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 저 레이놀즈 수에서는 시간에 대해 2차 수렴 속도, 공간에 대해 4차 수렴 속도를 달성하여 높은 공간 정확도를 확인한다.
• 고 레이놀즈 수에서는 시간과 공간에 모두 2차 수렴 속도를 보이며, 유도된 시간단계 제약 조건 하에서 안정성이 유지됨을 입증한다.
• 수치 실험 결과, 2차원 연합 버거 방정식을 해결하는 데 있어 기존의 다수의 방법들보다 이 방법이 더 효율적이고 강건함을 보였다.
• 시간단계가 유도된 안정성 조건을 초과할 경우, 특히 미세 메쉬 해상도에서 방법은 불안정하고 수렴하지 못함을 확인하였다.
• 粗메쉬 영역에서는 잘 작동하지만, 엄격한 시간단계 제약 조건으로 인해 미세 메쉬 점성층에서는 계산 비용이 크게 증가함을 확인하였다.
• 매우 얇은 점성층을 포함한 고 레이놀즈 수 흐름에서는 이 방법이 효율적이지 않으며, 메쉬 정밀화와 작은 시간단계가 필요함을 시사한다.