[논문 리뷰] A Novel Unified Approach to Invariance in Control

Zoltán Horváth, Yunfei Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 20.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 연속 또는 이산 동역계에서 볼록 집합—다면체, 다면체 원뿔, 타원체, 로렌츠 원뿔—의 불변성에 대한 必要하고도 충분한 조건을 결정하기 위한 통합 프레임워크를 제안한다. 기존 리아푸노프 방법 대신 S-lemma를 활용함으로써, 비볼록이고 유계가 아닌 집합을 포함한 일반적인 이차부등식 집합에 대한 불변성 분석으로 확장되며, 오일러 이산화를 통해 이산 체계의 조건으로부터 연속 체계의 조건을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel, unified, general approach to investigate sufficient and necessary conditions under which four types of convex sets, polyhedra, polyhedral cones, ellipsoids and Lorenz cones, are invariant sets for a linear continuous or discrete dynamical system. In proving invariance of ellipsoids and Lorenz cones for discrete systems, instead of the traditional Lyapunov method, our novel proofs are based on the S-lemma, which enables us to extend invariance conditions to any set represented by a quadratic inequality. Such sets include nonconvex and unbounded sets. Finally, according to the framework of our novel method, sufficient and necessary conditions for continuous systems are derived from the sufficient and necessary conditions for the corresponding discrete systems that are obtained by Euler methods.

연구 동기 및 목표

• 선형 연속 및 이산 체계에서 네 가지 주요 볼록 집합—다면체, 다면체 원뿔, 타원체, 로렌츠 원뿔—의 불변성 분석을 통합한다.
• 기존 리아푸노프 방법이 타원체와 로렌츠 원뿔의 불변성 분석에서 한계를 보임에 따라, S-lemma를 기본 도구로 도입함으로써 이를 극복한다.
• 모든 이차부등식으로 정의된 집합, 비볼록 및 무한대 집합을 포함하여 불변 조건을 확장함으로써 적용 범위를 넓힌다.
• 오일러 방법을 통해 이산 근사화된 체계와 연속 체계 간의 불변 조건 간의 체계적 연결 고리를 수립한다.

제안 방법

• 이산 시간 체계에서 타원체와 로렌츠 원뿔의 불변 조건을 도출하기 위해 S-lemma를 활용하여 기존 리아푸노프 기반 분석을 대체한다.
• S-lemma를 임의의 이차부등식으로 정의된 집합에 적용함으로써, 표준 볼록 원뿔을 초월한 비볼록 및 무한대 집합의 불변성 분석이 가능해진다.
• 해당 이산 시간 체계에 오일러 이산화를 적용하여 연속 체계의 불변 조건을 유도함으로써 연속 및 이산 프레임워크 간의 일관성을 확보한다.
• 선형 동역계 하에서 다양한 종류의 볼록 및 이차 집합의 불변성 처리를 통합하는 일반적 프레임워크를 수립한다.
• 볼록 해석학과 이차 형식에 기반하여, 선형 행렬 부등식(LMIs) 또는 관련 제약 조건으로 표현 가능한 대수적 조건을 통해 불변성을 특성화한다.
• 동일한 분석 구조가 다면체와 다면체 원뿔에도 적용 가능함을 보여, 네 가지 집합 유형에 대해 단일 통합 처리가 가능함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 이산 시간 체계에서 타원체와 로렌츠 원뿔이 불변 집합으로 유지되기 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 S-lemma는 어떻게 체계적으로 적용되어 볼록 집합을 초월해 임의의 이차부등식으로 정의된 집합에 대한 불변 조건을 일반화할 수 있는가?
• RQ3 오일러 방법을 통해 구한 이산 근사화된 체계와 연속 체계 간의 불변 조건 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 선형 동역계 하에서 다면체, 다면체 원뿔, 타원체, 로렌츠 원뿔의 불변성을 분석하기 위한 단일 통합 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 이차부등식으로 정의된 비볼록 또는 무한대 집합까지 어느 정도까지 확장 가능한가?

주요 결과

• S-lemma를 통해 리아푸노프 함수에 의존하지 않고도 이산 체계에서 타원체와 로렌츠 원뿔의 불변 조건을 도출할 수 있다.
• 이 방법은 비볼록 및 무한대 집합을 포함한 모든 이차부등식으로 정의된 집합으로 일반화되어 불변성 분석의 범위를 크게 확장한다.
• 연속 시간 체계의 불변 조건은 오일러 이산화를 통해 구한 이산 체계의 조건에서 엄밀하게 유도된다.
• 이 프레임워크는 선형 동역계 하에서 다면체, 다면체 원뿔, 타원체, 로렌츠 원뿔이라는 네 가지 다른 종류의 볼록 집합을 통합적으로 다룬다.
• 이차 형식과 행렬 부등식으로 표현 가능한 조건을 이용해 불변성을 체계적이고 대수적으로 검증할 수 있는 방법을 제공한다.
• 결과적으로 S-lemma는 이차 집합 클래스에서 불변성 분석에 있어 기존 리아푸노프 방법보다 더 유연한 도구임을 입증한다.