[논문 리뷰] A numerical method for wave-structure interactions in the Boussinesq regime

Geoffrey Beck, David Lannes외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 04.

Ocean Waves and Remote Sensing인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유로운 운동을 하는 부분적으로 침수된 구조물이 비선형 분산파와 상호작용하는 1차원 Boussinesq-Abbott 영역에서 두 번째 차수의 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 접촉점에서의 표면 고도 추적에 대한 보조 ODE를 포함하는 확장된 수식을 사용하여 도메인 경계에서의 전파 조건과 파동 생성을 정확하게 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

The goal of this work is to study waves interacting with partially immersed objects allowed to move freely in the vertical direction, and in a regime in which the propagation of the waves is described by the one dimensional Boussinesq-Abbott system. The problem can be reduced to a transmission problem for this Boussinesq system, in which the transmission conditions between the components of the domain at the left and at the right of the object are determined through the resolution of coupled forced ODEs in time satisfied by the vertical displacement of the object and the average discharge in the portion of the fluid located under the object. We propose a new extended formulation in which these ODEs are complemented by two other forced ODEs satisfied by the trace of the surface elevation at the contact points. The interest of this new extended formulation is that the forcing terms are easy to compute numerically and that the surface elevation at the contact points is furnished for free. Based on this formulation, we propose a second order scheme that involves a generalization of the MacCormack scheme with nonlocal flux and a source term, which is coupled to a second order Heun scheme for the ODEs. In order to validate this scheme, several explicit solutions for this wave-structure interaction problem are derived and can serve as benchmark for future codes. As a byproduct, our method provides a second order scheme for the generation of waves at the entrance of the numerical domain for the Boussinesq-Abbott system.

연구 동기 및 목표

• 자유로운 운동을 하는 부분적으로 침수된 구조물이 있는 Boussinesq-Abbott 영역에서 파동-구조물 상호작용을 시뮬레이션하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 외부 영역의 Boussinesq 시스템과 구조물의 운동 및 그 아래의 유체 흐름을 제어하는 결합된 ODE에 의해 지배되는 전파 문제를 연결하는 데 도전하는 것.
• 접촉점에서의 표면 고도 추적에 대한 ODE를 포함하는 확장된 수식을 도입하여 수치적 정확도와 효율성을 향상시키는 것.
• 미래의 수치 코드 검증을 위한 기준으로 사용할 수 있는 명시적 해석적 해를 제공하는 것.
• 확장된 수식을 활용하여 도메인 입구에서 두 번째 차수의 파동 생성을 실현하는 것.

제안 방법

• Boussinesq-Abbott 시스템에 비표준 전파 조건을 적용한 초기 경계값 문제로 파동-구조물 상호작용 문제를 수식화한다.
• 구조물의 수직 이동과 좌우 접촉점에서의 표면 고도 추적에 대한 보조 ODE 시스템을 도입하여 강제항의 수치적 접근성을 향상시킨다.
• 비국소적 플럭스와 소스 항을 포함한 두 번째 차수의 일반화된 MacCormack 스킴을 사용하여 외부 영역의 Boussinesq 시스템을 해결한다.
• 구조물의 운동과 접촉점에서의 표면 고도를 제어하는 ODE를 해결하기 위해 두 번째 차수의 Heun 스킴을 결합한다.
• 확장된 수식을 활용하여 접촉점에서의 표면 고도를 직접 계산함으로써 반복적 또는 암시적 해법이 필요 없도록 한다.
• 파동 생성 및 대칭 조건 하에서 평형 상태로의 복귀 사례를 포함한 명시적 해석적 해를 유도한다.

Figure 1. The floating object

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유로운 운동을 하는 부분적으로 침수된 구조물과 Boussinesq-Abbott 시스템 간의 결합을 수치적 방법으로 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 접촉점에서의 표면 고도 추적에 대한 보조 ODE를 포함함으로써 파동-구조물 상호작용 시뮬레이션의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제안된 방법은 도메인 입구에서 두 번째 차수의 정확도를 갖는 파동 생성이 가능한가? 기존의 파동 생성 기법과 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 Boussinesq 영역에서 파동-구조물 상호작용 문제의 명시적 해석적 해는 무엇이 있으며, 이를 향후 코드 검증의 기준으로 사용할 수 있는가?
• RQ5 대칭적 수식은 문제를 어떻게 단순화시키며, 어떤 물리적 시나리오(예: 파동 생성, 평형 상태로의 복귀)를 효과적으로 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 표면 고도 추적에 대한 ODE를 포함하는 확장된 수식은 추가적인 수치적 해법 없이도 이들 양을 직접적이고 정확하게 계산할 수 있도록 한다.
• 제안된 두 번째 차수의 수치적 방법은 명시적 해석적 해와의 검증을 통해 공간 및 시간에서 일관된 정확도를 확보한다.
• 파동 생성 및 평형 상태로의 복귀 사례에 대한 명시적 해석적 해가 도출되어 향후 코드 검증을 위한 기준 사례를 제공한다.
• 제안된 방법은 정해진 물체의 운동으로부터 필요한 경계 강제항을 직접 계산함으로써 도메인 입구에서 두 번째 차수의 파동 생성을 실현한다.
• 대칭적인 경우 문제는 경계 조건이 단순화된 반선형 초기 경계값 문제로 축소되어 계산 효율성이 향상된다.
• 이 스킴은 비선형 분산파 효과와 구조물의 운동을 성공적으로 포착하여 얕은 수면에서 파도 농장 및 해양 구조물의 시뮬레이션 가능성을 입증한다.

Figure 2. Space discretzation