[논문 리뷰] A Numerical Scheme for the Quantum Boltzmann Equation Efficient in the Fluid Regime

Francis Filbet, Jingwei Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 17.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 계산 비용이 높은 양자 BGK 대신 고전적 BGK 연산자를 양자 충돌 연산자에 페널티로 적용함으로써 양자 보르츠만 방정식에 대한 새로운 점근 보존 수치 스킴을 제안한다. 내부 에너지를 온도로 사용하는 고전적 맥스웰리안이 양자 맥스웰리안의 첫 다섯 모멘트와 일치한다는 사실을 활용하여, 퇸리티 및 온도에 대한 복잡한 비선형 시스템을 해결할 필요 없이 안정적이고 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 하며, 쿤들렌 수에 관계없이 운동역학적 및 유체역학적 영역에서 균일한 정확도를 확보한다.

ABSTRACT

Numerically solving the Boltzmann kinetic equations with the small Knudsen number is challenging due to the stiff nonlinear collision term. A class of asymptotic preserving schemes was introduced in [6] to handle this kind of problems. The idea is to penalize the stiff collision term by a BGK type operator. This method, however, encounters its own difficulty when applied to the quantum Boltzmann equation. To define the quantum Maxwellian (Bose-Einstein or Fermi- Dirac distribution) at each time step and every mesh point, one has to invert a nonlinear equation that connects the macroscopic quantity fugacity with density and internal energy. Setting a good initial guess for the iterative method is troublesome in most cases because of the complexity of the quantum functions (Bose-Einstein or Fermi-Dirac function). In this paper, we propose to penalize the quantum collision term by a 'classical' BGK operator instead of the quantum one. This is based on the observation that the classical Maxwellian, with the temperature replaced by the internal energy, has the same first five moments as the quantum Maxwellian. The scheme so designed avoids the aforementioned difficulty, and one can show that the density distribution is still driven toward the quantum equilibrium. Numerical results are present to illustrate the efficiency of the new scheme in both the hydrodynamic and kinetic regimes. We also develop a spectral method for the quantum collision operator.

연구 동기 및 목표

• 점층 보존 스킴에서 양자 맥스웰리안(Bose-Einstein 또는 Fermi-Dirac)의 비선형 방정식을 역행하는 데 발생하는 계산 난이도를 해결하기 위해.
• 모든 쿤들렌 수 영역에서 양자 보르츠만 방정식에 대해 안정적이고 균일 수렴하는 수치 스킴을 개발하기 위해.
• 양자 BGK 연산자를 고전적 BGK 연산자로 대체하여 복잡한 모멘트 시스템의 반복적 해법을 피하기 위해.
• 평균 자유 길이가 해상도되지 않은 경우에도 유체역학적 극한(Euler 방정식)을 정확히 포착할 수 있도록 보장하기 위해.
• 고정밀 시뮬레이션을 위해 스펙트럼 방법을 양자 충돌 연산자로 확장하기 위해.

제안 방법

• 내부 에너지를 온도로 사용하는 고전적 맥스웰리안 M_c를 사용하여 양자 충돌 연산자 Qq를 페널티 처리하며, 여기서 M_c는 온도 대신 내부 에너지를 사용한다.
• 고전적 맥스웰리안의 첫 다섯 모멘트(밀도, 운동량, 에너지)를 양자 맥스웰리안의 것과 일치시켜, 유체 극한에서의 일致성을 확보한다.
• 반환형 BGK 항을 안정성 확보를 위해 유한체적 또는 반-라그랑주 방법으로 이산화한다.
• 각 시간 단계에서 비선형 시스템 해법을 피하기 위해 보존 성질을 활용하여 반환형 BGK 항을 명시적으로 해법한다.
• 구면 조화함수와 가우스-레제드르 구적법을 사용하여 양자 충돌 연산자에 대한 스펙트럼 방법을 구현하며, M=4, N=32, L=8(보스 기체의 경우 L=6)를 사용한다.
• 평형 분포를 계산하기 위해 페르미-디랙 함수는 수치적 적분을, 보즈-아인슈타인 함수는 급수 전개를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 모멘트 시스템을 해결하지 않고도 고전적 BGK 연산자가 유체 영역에서 양자 충돌 연산자를 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 제안된 스킴이 쿤들렌 수에 관계없이 운동역학적 및 유체역학적 영역 모두에서 균일한 안정성과 정확도를 유지하는가?
• RQ3 양자 맥스웰리안에 필요한 흡수계수-온도 시스템의 비용이 많이 드는 반복적 해법을 피할 수 있는가?
• RQ4 평균 자유 길이가 해상도되지 않은 경우에도 스킴이 유체역학적 극한(Euler 방정식)을 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ5 양자 기체 시뮬레이션에서 양자 충돌 연산자에 대한 스펙트럼 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 새로운 스킴은 각 시간 단계에서 흡수계수 z와 온도 T에 대한 비선형 시스템 ρ=ρ(z,T), e=e(z,T)를 해결할 필요 없이, 주요 계산 블로킹을 제거하였다.
• 수치 결과는 유체역학적 영역(ε=1e-4)에서 KFVS 스킴과 우수한 일치를 보이며, 점근 보존 행동을 확인하였다.
• 운동역학적 영역(ε=1e-1 또는 1e-2)에서는 명시적 전진 오일러 스킴의 결과와 일치하여, 다양한 척도에서의 정확도를 검증하였다.
• 큰 시간 스텝에서도 안정적이고 정확하여, 쿤들렌 수에 대해 균일한 안정성을 입증하였다.
• 스펙트럼 방법은 M=4, N=32, L=8이며, 보스 기체의 경우 L=6로 설정하여 높은 정확도를 달성하였으며, 양자 충돌 항의 정밀한 계산을 가능하게 하였다.
• 보스 및 페르미 기체에 대한 시뮬레이션은 z=0.01에서 z=9에 이르는 다양한 흡수계수 값에서 일관된 행동을 보이며, 강건성을 확인하였다.