[논문 리뷰] A Numerical Study of Radial Basis Function Based Methods for Options Pricing under the One Dimension Jump-diffusion Model

Ron Chan, Simon Hubbert|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 50인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 메르톤 및 쿠 모델과 같은 일차원 점프-확산 모델에서 옵션 가격 결정을 위한 편미분-적분방정식(PIDE)을 해결하기 위해 삼차 스퍼인 RBF를 사용하는 메쉬리스 라디얼 기저 함수(RBF) 방법을 제안한다. 이 방법은 미국형 옵션에 대해 공간 기준 2차 정확도와 시간 기준 1차 정확도를 달성하며, 유럽형 옵션에 대해서는 공간 및 시간 모두에서 2차 정확도를 확보한다. 또한 행사가격 근처에서 진동 현상을 방지한다.

ABSTRACT

The aim of this chapter is to show how option prices in jump-diffusion models can be computed using meshless methods based on Radial Basis Function (RBF) interpolation. The RBF technique is demonstrated by solving the partial integro-differential equation (PIDE) in one-dimension for the American put and the European vanilla call/put options on dividend-paying stocks in the Merton and Kou jump-diffusion models. The radial basis function we select is the Cubic Spline. We also propose a simple numerical algorithm for finding a finite computational range of an improper integral term in the PIDE so that the accuracy of approximation of the integral can be improved. Moreover, the solution functions of the PIDE are approximated explicitly by RBFs which have exact forms so we can easily compute the global integral by any kind of numerical quadrature. Finally, we will not only show numerically that our scheme is second order accurate in both spatial and time variables in a European case but also second order accurate in spatial variables and first order accurate in time variables in an American case.

연구 동기 및 목표

• 일차원 점프-확산 모델에서의 PIDE를 해결하기 위한 메쉬리스 RBF 기반 수치 방법을 개발한다.
• 특히 단기 만기 옵션에서 발생하는 행사가격 근처의 수치적 불안정성과 진동 현상을 해결한다.
• PIDE의 전역 적분 항을 근사할 때 정확도를 향상시키기 위해 유한한 계산 범위를 정의한다.
• 삼차 스퍼인 기저 함수의 분해 기법을 통해 RBF 보간에서의 악조건화 문제를 방지한다.
• 유럽형 옵션에 대해 공간 및 시간 기준 2차 수렴, 미국형 옵션에 대해 공간 기준 1차 수렴을 입증한다.

제안 방법

• 점프-확산 모델에서 PIDE의 공간 이산화에 삼차 스퍼인 라디얼 기저 함수를 사용한다.
• 점프 밀도의 리프시츠 연속성과 尾部 경계를 이용해 PIDE의 적분 항에 대해 유한한 계산 범위를 유도함으로써 오차 제어를 보장한다.
• 삼차 스퍼인 RBF에 분해 기법을 적용하여 보간 과정에서 발생하는 수치적 악조건화를 방지한다.
• 2차 BDF 기반 시간 스텝 스킴을 사용하지만, 미국형 옵션에 대해서는 시간 기준으로만 1차 수렴을 보인다.
• 유한 범위에서 적분 항을 수치적으로 근사하며, 점프 밀도의 성질(정규 또는 이중 지수형)을 이용해 오차 한계를 유도한다.
• 이 방법은 메르톤 및 쿠 점프-확산 모델 하에서 유럽형 및 미국형 바닐라 옵션에 모두 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RBF 기반 방법이 점프-확산 모델 하에서 유럽형 옵션에 대해 공간 기준 2차 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 PIDE의 전역 적분 항을 정확하게 절단하면서도 수치적 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 2차 시간 스텝 스킴을 사용하고도 삼차 스퍼인 기저 함수를 사용하는 RBF 방법이 미국형 옵션에 대해 시간 기준 1차 수렴을 보이는 이유는 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법이 기존의 유한차분 방법에서 흔히 발생하는 행사가격 근처의 델타 및 감마 진동 현상을 방지할 수 있는가?
• RQ5 메르톤 및 쿠 모델에서 점프 분포의 매개변수에 따라 적분 항의 유한한 계산 범위는 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• RBF 방법은 점프-확산 모델 하에서 유럽형 옵션에 대해 공간 기준 2차 정확도와 시간 기준 2차 정확도를 달성한다.
• 미국형 옵션에 대해서는 공간 기준 2차 정확도를 달성하지만, 시간 기준으로는 1차 정확도에 그친다. 이는 2차 BDF 시간 스킴을 사용하고 있음에도 불구하고 그렇다.
• 제안된 적분 항의 유한한 계산 범위는 $ 2rac{ ho}{ ho} imes ext{constant} imes ho $ 이하의 절단 오차를 보장하며, 메르톤 및 쿠 모델에 대해 명시적인 공식이 유도되었다.
• 삼차 스퍼인 기저 함수의 분해 기법을 사용함으로써 RBF 보간 행렬의 악조건화 문제를 효과적으로 방지하여 수치적 안정성을 향상시켰다.
• 기존의 전통적인 유한차분 스킴에서 흔히 발생하는 행사가격 근처의 델타 및 감마 진동 현상을 성공적으로 완화하였다.
• PIDE의 구조가 유지되므로, CGMY 및 변동성 게이밍 모델과 같은 다른 레비 타입 모델로의 확장도 가능하다.