[논문 리뷰] A numerical study of wave-function and matrix-element statistics in the Anderson model of localization

Ville Uski, B. Mehlig외 1명|arXiv (Cornell University)|1998. 11. 09.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 불순물 농도 조건에서 2차원 및 3차원 앤더슨 모형에서 파동함수 및 행렬원소 통계에 대한 수치적 연구를 제시하며, 아하로노프-보함 플럭스에 의해 GOE에서 GUE 대칭으로의 전이와 증가하는 불순물 농도에서의 무작위 매트릭스 이론(RMT)의 이탈을 중심으로 다룬다. 정확한 대각화와 고유상태의 통계적 분석을 통해, 파동함수 진폭 분포에 대해 비보존적 및 비선형 시그마 모형 예측을 확인하였으며, 해석적 결과와 양호한 일치를 보이고, 포터-톰슨 통계에 대한 g⁻¹ 보정항이 단순 스케일링 예측과 다름을 드러낸다.

ABSTRACT

We have calculated wave functions and matrix elements of the dipole operator in the two- and three-dimensional Anderson model of localization and have studied their statistical properties in the limit of weak disorder. In particular, we have considered two cases. First, we have studied the fluctuations as an external Aharonov-Bohm flux is varied. Second, we have considered the influence of incipient localization. In both cases, the statistical properties of the eigenfunctions are non-trivial, in that the joint probability distribution function of eigenvalues and eigenvectors does no longer factorize. We report on detailed comparisons with analytical results, obtained within the non-linear sigma model and/or the semiclassical approach.

연구 동기 및 목표

• 약한 불순물 농도 조건에서 앤더슨 모형의 파동함수 및 행렬원소 통계적 성질을 조사하는 것.
• 아하로노프-보함 플럭스에 의해 유도되는 GOE에서 GUE 통계으로의 전이를 고려하며, 고유값과 고유벡터의 비트리비얼한 연합 통계를 분석하는 것.
• 금속 영역에서 불순물 농도가 증가함에 따라 포터-톰슨 통계에서의 이탈을 파악하며, RMT 예측에 대한 g⁻¹ 보정항에 초점을 맞추는 것.
• 비선형 시그마 모형과 석학적 접근에서의 해석적 예측과 수치 결과를 비교하는 것.

제안 방법

• 27×27 및 13×13×13까지의 시스템을 대상으로 수정된 랑츠 알고리즘을 사용한 2차원 및 3차원 앤더슨 해밀토니안의 수치적 대각화.
• 다이폴 전이 연산자의 고유상태 및 행렬원소 계산과 함께, 파동함수 진폭 및 준위 속도의 통계적 분석.
• 에너지 및 플럭스에 대한 함수로, 준위 속도 및 대각행렬원소의 변동성을 연구하기 위해 스무딩된 분산 Cv(ε,φ) 및 Cm(ε,φ)의 사용.
• 비선형 시그마 모형을 적용하여 RMT에 대한 g⁻¹ 보정항을 유도하고, Eq. (8)에 대한 피팅을 통해 수치 데이터와 비교.
• 3D에서 400개의 불순물 실현을 평균하여, 파동함수 진폭의 분포 f(t)와 포터-톰슨에서의 이탈 ∆f(t)를 계산.
• 에너지 스펙트럼을 δ-함수 형태로 에너지 스무딩을 통해 너비 ǫ로 정의한 f(t)를 사용하고, GOE/GUE 전이 및 g⁻¹ 보정항에 대한 해석적 표현과 비교.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아하로노프-보함 플럭스에 의해 유도되는 GOE에서 GUE 전이 과정에서 파동함수 진폭 통계는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 전이 영역에서 수치적 결과로 산출된 행렬원소 및 준위 속도 변동성은 석학적 및 RMT 예측과 어느 정도 일치하는가?
• RQ3 3D 앤더슨 모형에서 불순물 농도 W 증가에 따라 파동함수 진폭의 포터-톰슨 통계에서의 이탈은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 비선형 시그마 모형이 예측한 RMT에 대한 g⁻¹ 보정항은 수치 관측과 일치하는가? 그리고 Eq. (8)의 피팅 파라미터 a₃는 W에 따라 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• GOE에서 GUE 전이 과정에서의 파동함수 진폭 분포에 대한 수치 결과는 Ref. [10]의 해석적 예측과 뛰어난 일치를 보이며, 피크의 억제 및 꼬리의 증가를 특징으로 한다.
• 전이 영역에서 준위 속도의 분포는 정규분포가 아니며, 수치 정밀도의 한계로 인해 예측된 이탈을 확실하게 확인하기는 어려운 상황이다.
• 3D 앤더슨 모형에서 포터-톰슨 통계에서의 이탈은 Eq. (8)의 g⁻¹ 보정 공식으로 잘 기술되며, 작은 및 큰 진폭에서의 확률 증가와 피크 근처의 확률 감소를 보인다.
• Eq. (8)의 피팅 파라미터 a₃/g는 기대되는 W⁴ 스케일링 대신 W²로 스케일링되며, 평균 자유로움 길이의 l ∼ W⁻² 스케일링과의 불일치를 시사한다.
• Eq. (8)의 일阶 보정항의 영점은 W = 1에서 5까지의 모든 불순물 농도에서 수치 데이터에 잘 재현된다.
• 비선형 시그마 모형에 의한 g⁻¹ 보정항의 예측 유효성을 확인하였으며, 약한 불순물 조건에서의 스케일링 이상 현상을 해결하기 위해 고정밀도 데이터의 필요성을 강조한다.