[논문 리뷰] A p-adic regulator map and finiteness results for arithmetic schemes

Shuji Saito, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|2006. 12. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 60인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 p-진 조절 사상의 Bloch-Kato 추측과 산술 스킴에서 산술 불변량의 유한성 사이의 연결 고리를 설정한다. 이는 고차원 코호몰로지에서 p-진 조절 사상의 이미지가 2차원 코호몰로지에서의 p-primary 토크션과 비분할 코호몰로지의 유한성을 암시함을 증명하며, 새로운 p-진 코호몰로지 이론으로의 사이클 클래스 사상의 단사성 결과를 확립하여 Beilinson-Lichtenbaum 추측을 뒷받침한다.

ABSTRACT

A main theme of the paper is a conjecture of Bloch-Kato on the image of $p$-adic regulator maps for a proper smooth variety $X$ over an algebraic number field $k$. The conjecture for a regulator map of particular degree and weight is related to finiteness of two arithmetic objects: One is the $p$-primary torsion part of the Chow group in codimension 2 of $X$. Another is an unramified cohomology group of $X$. As an application, for a regular model ${\mathscr X}$ of $X$ over the integer ring of $k$, we show an injectivity result on torsion of a cycle class map from the Chow group in codimension 2 of ${\mathscr X}$ to a new $p$-adic cohomology of ${\mathscr X}$ introduced by the second author, which is a candidate of the conjectural étale motivic cohomology with finite coefficients of Beilinson-Lichtenbaum.

연구 동기 및 목표

• 산술 스킴에서 p-진 조절 사상의 이미지에 대한 Bloch-Kato 추측을 2차원 코호몰로지에서 조사하기.
• 이 추측을 두 가지 산술 불변량의 유한성과 연결하기: Chow 군에서의 p-primary 토크션과 비분할 코호몰로지.
• 새로운 p-진 코호몰로지 이론으로의 2차원 Chow 군에서의 사이클 클래스 사상의 단사성 결과를 확립하기.
• Beilinson-Lichtenbaum 추측에 대한 증거를 제공하기 위해, 유한 계수를 가진 에탈 모티브 코호몰로지의 후보로서 새로운 p-진 코호몰로지 구조를 제시하기.

제안 방법

• 수체 위의 다양체의 정칙 모델에 대해 새로운 p-진 코호몰로지 이론을 도입하며, 이는 Z/p^rZ 계수를 가진 에탈 층의 극한으로 구성된다.
• 고차 Chow 군에서 연속 갈루아 코호몰로지로의 p-진 조절 사상을 사용하며, 특히 (r,m) = (2,1)의 경우에 집중한다.
• 에탈 코호몰로지에서 1차원 점에서 비분할인 Q_p/Z_p 계수를 가진 비분할 코호몰로지 이론을 적용한다.
• 사이클 클래스 사상, 폰트리에인 쌍대성, 그리고 조절 사상의 쌍대를 포함하는 교환 다이어그램을 수립하여 토크션과 코어너널 유한성을 분석한다.
• Milne의 쌍대성 정리와 에탈 코호몰로지에서의 Poincaré 쌍대성을 활용하여 브라우어 군과 코호몰로지 군을 연결한다.
• 브라우어 군과 비분할 코호몰로지의 유한성 가정을 통해 사이클 클래스 사상의 핵과 코어너널의 유한성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bloch-Kato 추측이 수체 위의 완전하고 평탄한 다양체에서 2차원 사이클의 p-primary 토크션의 유한성을 암시하는가?
• RQ2 적절한 조건 하에서 Q_p/Z_p 계수를 가진 p-진 조절 사상의 이미지가 H^1_g(k, H^2_et(X̄, Q_p/Z_p(2)))의 부분군과 동일한가?
• RQ3 정수환의 수체 위에서의 다양체의 정칙 모델에 대해, CH^2(X)에서 새로운 p-진 코호몰로지 이론으로의 사이클 클래스 사상의 단사성이 성립하는가?
• RQ4 비분할 코호몰로지 H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2))의 유한성은 2차원 Chow 군 토크션의 유한성과 연결될 수 있는가?
• RQ5 새로운 p-진 코호몰로지 이론이 Beilinson과 Lichtenbaum이 추측한 바와 같이, 유한 계수를 가진 에탈 모티브 코호몰로지의 후보로서 얼마나 잘 작동하는가?

주요 결과

• H1 (2차원에서 p-진 조절 사상의 Bloch-Kato 추측)은 H1* (Q_p/Z_p 계수를 가진 동일한 진술)를 암시하지만, 이 함의는 비자명하다.
• Bloch-Kato 추측 H1은 CH^2(X)의 p-primary 토크션 부분군의 유한성을 암시한다.
• Bloch-Kato 추측 H1은 비분할 코호몰로지 군 H^3_ur(K, Q_p/Z_p(2))의 유한성을 암시한다.
• 제2저자의 새로운 p-진 코호몰로지 이론으로의 사이클 클래스 사상에 대해 단사성 결과가 확립되었으며, 이는 유한 계수를 가진 에탈 모티브 코호몰로지의 후보이다.
• 유한성 가정 하에 사이클 클래스 사상의 핵은 CH^2(X)의 토크션 부분군과 동형이다.
• Q_p/Z_p 계수를 가진 사이클 클래스 사상의 폰트리에인 쌍대는 Br(X)가 유한하다는 가정 하에 핵이 X의 브라우어 군과 동형임을 보였다.