[논문 리뷰] A $(p,ν)$-extension of the Appell function $F_1(\cdot)$ and its properties

Showkat Ahmad Dar, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확장된 베타 함수 $B_{p,\nu}(x,y)$를 사용하여 Appell 함수 $F_1(\cdot)$의 $(p,\nu)$-확장 버전을 도입하며, 적분 표현식, 며셀 변환, 미분 공식, 재귀 관계 및 유계 부등식을 수립한다. 주요 기여는 특수함수 및 수학적 물리학 분야에 응용 가능한 새로운 유형의 확장된 하이퍼기하함수를 제안하며, Meijer의 $G$-함수를 포함하는 새로운 적분 표현식을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain a $(p,v)$-extension of the Appell hypergeometric function $ F_{1}(\cdot)$, together with its integral representation, by using the extended Beta function $B_{p,v}(x,y)$ introduced in arXiv:1502.06200. Also, we give some of its main properties, namely the Mellin transform, a differential formula, recursion formulas and a bounded inequality. In addition, some new integral representations of the extended Appell function$ F_{1,p,v}(\cdot)$ involving Meijer's $G$-function are obtained.

연구 동기 및 목표

• 고전적 Appell 하이퍼기하함수 $F_1(\cdot)$를 확장된 베타 함수 $B_{p,\nu}(x,y)$ 기반의 $(p,\nu)$-매개변수화된 확장으로 일반화한다.
• 새로운 확장된 함수 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$에 대한 적분 표현식, 며셀 변환 및 미분 공식을 유도한다.
• 분자 매개변수 $b_2$ 및 $b_3$에 대한 재귀 공식을 수립하고, 확장된 함수에 대한 유계 부등식을 증명한다.
• Meijer의 $G$-함수 및 콘플루언트 하이퍼기하함수를 이용한 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$의 새로운 적분 표현식을 유도한다.

제안 방법

• 확장된 Appell 함수 $F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y)$는 고전적 $F_1$ 급수에서 사용되는 고전적 베타 함수 대신 확장된 베타 함수 $B_{p,\nu}(x,y)$를 포함하는 급수를 통해 정의된다.
• 확장된 베타 함수의 적분 형태와 수정형 베셀 함수 $K_{\nu}(z)$를 이용하여 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$의 적분 표현식을 도출한다.
• Mellin-Barnes 적분 표현식과 $G$-함수의 성질을 적용하여 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$의 며셀 변환을 구한다.
• Pochhammer 기호와 확장된 베타 함수의 성질을 사용하여 급수 표현식을 $x$ 및 $y$에 대해 미분함으로써 미분 공식을 유도한다.
• Pochhammer 기호를 조작하고 확장된 베타 함수의 재귀 항등식을 적용하여 재귀 공식을 수립한다.
• 수정형 베셀 함수 $K_{\nu+1/2}(z)$의 점근적 행동과 적분 추정 기법을 사용하여 유계 부등식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베타 함수의 이중 매개변수 확장에 기반하여 Appell 함수 $F_1(\cdot)$는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 새로운 $(p,\nu)$-확장 Appell 함수에 대한 적분 및 며셀 변환 표현식은 무엇인가?
• RQ3 확장된 함수에 대해 분자 매개변수 $b_2$ 및 $b_3$에 대한 재귀 관계는 무엇인가?
• RQ4 확장된 Appell 함수는 어떻게 Meijer의 $G$-함수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 확장된 Appell 함수의 절대값에 대한 날카운 상한은 무엇인가?

주요 결과

• $(p,\nu)$-확장된 $F_1(\cdot)$는 $F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) = \sum_{m,n=0}^{\infty} \frac{(b_2)_m(b_3)_n B_{p,\nu}(b_1+m+n, c_1-b_1)}{B(b_1, c_1-b_1)} \frac{x^m}{m!} \frac{y^n}{n!}$로 정의되며, $\Re(p) > 0$ 및 $\Re(c_1) > \Re(b_1) > 0$ 조건을 만족한다.
• 적분 표현식이 수립되었으며, $F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{\Gamma(c_1)}{\Gamma(b_1)\Gamma(c_1-b_1)} \int_0^1 t^{b_1-1}(1-t)^{c_1-b_1-1}(1-xt)^{-b_2}(1-yt)^{-b_3} \times \left[ \int_0^1 u^{b_1+m+n-1}(1-u)^{c_1-b_1-1} e^{-p/(u(1-u))} \right] dt$로 표현되며, 이는 확장된 베타 함수를 포함한다.
• 확장된 함수 $F_{1,p,\nu}(\cdot)$의 며셀 변환은 Meijer $G$-함수로 표현되며, 확장된 하이퍼기하함수와 특수함수 간의 새로운 연결 고리를 제공한다.
• 미분 공식이 도출되었으며, $\frac{\partial}{\partial x} F_{1,p,\nu}(\cdot) = \frac{b_2}{c_1} F_{1,p,\nu}(b_1+1, b_2+1, b_3; c_1+1; x, y)$로 표현되며, 고전적 $F_1$과 유사한 도함수 관계를 보여준다.
• 재귀 공식이 증명되었으며, $F_{1,p,\nu}(b_1,b_2+n,b_3;c_1;x,y) = F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y) + \frac{b_1 x}{c_1} \sum_{\ell=1}^n F_{1,p,\nu}(b_1+1,b_2+\ell,b_3;c_1+1;x,y)$로 표현되며, 양의 정수 $n$에 대해 유효하다.
• 날카운 상한이 확립되었으며, $|F_{1,p,\nu}(b_1,b_2,b_3;c_1;x,y)| < \frac{2^{\nu}|p|^{\nu+1}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}(\Re(p))^{2\nu+1}} \cdot \frac{B(b_1+\nu, c_1-b_1+\nu)}{B(b_1, c_1-b_1)} \cdot F_1(b_1+\nu, b_2, b_3; c_1+2\nu; x, y)$로 표현되며, $x,y$ 및 매개변수에 대한 조건을 만족할 때 성립한다.