[논문 리뷰] A Parallel Algorithm for solving BSDEs - Application to the pricing and hedging of American options

Céline Labart, Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 23.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원 국소 변동성 모델에서 미국형 옵션을 가격화하고 헤지하기 위해 후행 확률 미분 방정식(BSDE)을 해결하는 확장 가능한 병렬 알고리즘을 제안한다. 피카르 반복과 적응형 보정 변수를 조합하고 MPI 기반 병렬 처리를 활용하여 512개의 CPU 클러스터에서 차원 수가 10 이하일 때 선형 속도 향상을 달성함으로써, 계산이 매우 복잡한 금융 파생상품 가격 책정에 대해 강력한 확장성을 입증한다.

ABSTRACT

We present a parallel algorithm for solving backward stochastic differential equations (BSDEs in short) which are very useful theoretic tools to deal with many financial problems ranging from option pricing option to risk management. Our algorithm based on Gobet and Labart (2010) exploits the link between BSDEs and non linear partial differential equations (PDEs in short) and hence enables to solve high dimensional non linear PDEs. In this work, we apply it to the pricing and hedging of American options in high dimensional local volatility models, which remains very computationally demanding. We have tested our algorithm up to dimension 10 on a cluster of 512 CPUs and we obtained linear speedups which proves the scalability of our implementation

연구 동기 및 목표

• 고차원 국소 변동성 모델에서 미국형 옵션을 가격화하고 헤지하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결한다.
• 고차원 문제에 대한 계산 시간을 줄이기 위해 BSDE 해법의 확장 가능한 병렬 구현을 개발한다.
• 몬테카를로 기반 BSDE 접근법을 사용하여 옵션 가격과 델타(헤지)를 정확하게 계산할 수 있도록 한다.
• 512개의 CPU로 구성된 클러스터를 사용하여 차원 수가 10 이하일 때 알고리즘의 선형 속도 향상과 확장성을 입증한다.
• 고차원 계산에 몇 시간이 소요되는 순차적 알고리즘의 한계를 극복한다.

제안 방법

• Gobet와 Labart(2010)의 표준 BSDE를 해결하기 위한 알고리즘을 피카르 반복과 적응형 보정 변수를 활용하여 변형한다.
• 반사 BSDE를 근사하기 위해 페널티 기법을 적용하여 미국형 옵션 가격 책정 문제의 해를 도출한다.
• 클러스터 전반에 걸쳐 MPI를 통해 병렬 처리를 구현하고, 몬테카를로 시뮬레이션과 다항 회귀 작업을 분산한다.
• 각 프로세서가 시간-공간 격자 점의 부분집합과 관련된 확률 경로를 처리하는 도메인 분할 전략을 적용한다.
• 동기화 지점 수를 최소화하고 프로세서 간 계산 부하를 균형 있게 분배하여 통신을 최적화한다.
• 각 반복에서 총 차수 ≤ η인 다항 회귀를 통해 수정 사항을 계산하며, 복잡도는 반복당 Mpd³ 비례한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BSDE 해법의 병렬 구현은 고차원 옵션 가격 책정에서 선형 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 차원 수가 10 이하일 때, 미국형 옵션에 적용했을 경우 알고리즘이 확장성과 효율성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 고차원 국소 변동성 모델 하에서 가격 책정과 헤지의 정확도를 어느 정도 유지하는가?
• RQ4 저차원 영역에서의 성능 저하 요인은 무엇이며, 이는 속도 향상 측정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 초고차원 문제에 대해 수천 개의 프로세서로 효율적으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 수 6에서 256개의 프로세서까지 선형 속도 향상을 달성하였으며, 256개의 CPU에서 속도 향상 지수가 1.041로 나타나 강력한 확장성을 입증하였다.
• 차원 수 3에서는 프로세서 수가 28개를 초과할 경우 계산 부하가 낮아져 속도 향상이 떨어지며, 이는 병렬 효율성에 있어 문제 크기의 중요성을 시사한다.
• 차원 수 5의 5개 자산 미국형 팻옵션의 경우, 몇 차례 반복 내에 수렴하여 약 6.30의 가격과 (-0.102159, -0.102893, -0.103237, -0.110546, -0.106442)의 델타 벡터를 도출하였다.
• 이 방법은 옵션 가격과 델타(헤지)를 동시에 계산하여 리스크 관리에 대한 종합적인 솔루션을 제공한다.
• 일부 대안보다 약간 더 높은 계산 시간이 소요되지만, 헤지 정보를 제공할 수 있다는 점에서 전체적으로 매우 효율적이다.
• 순차적 기준선이 없기 때문에 약간의 수정된 속도 향상 지표(8개 프로세서의 CPU 시간 / 8 ÷ n × n개 프로세서의 CPU 시간)를 사용하여, 일부 경우에서 1을 초과하는 미미한 속도 향상도 설명할 수 있다.