[논문 리뷰] A Parameterized Algorithm for Vertex and Edge Connectivity of Embedded Graphs

Thérèse Biedl, Prosenjit Bose외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 01.

Interconnection Networks and Systems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 교차를 가진 임bedded 그래프에서 정점 및 간선 연결성을 계산하기 위한 매개변수화된 알고리즘을 소개한다. 이는 '릴리프 반지름'이라는 새로운 개념을 활용하여 평면 및 1-플레인 그래프에서의 선형 시간 연결성 알고리즘들을 더 넓은 범위의 near-planar 그래프 클래스로 일반화한다. 교차점으로부터 유한한 면거리(릴리프 반지름) 이내에 최소 컷이 존재함을 보여줌으로써, 최적의 2- 및 3-플레인 그래프, d-map 그래프, 교차 수가 제한된 그래프, ×-교차 수가 제한된 k-플레인 그래프 등에서 선형 시간 복잡도를 달성한다.

ABSTRACT

The problem of computing vertex and edge connectivity of a graph are classical problems in algorithmic graph theory. The focus of this paper is on computing these parameters for graphs drawn on the plane. A typical example of such graphs are planar graphs which can be embedded without any crossings. It has long been known that vertex and edge connectivity of planar embedded graphs can be computed in linear time. Very recently, Biedl and Murali extended the techniques from planar graphs to 1-plane graphs without ×-crossings, i.e., crossings whose endpoints induce a matching. While the tools used were novel, they were highly tailored to 1-plane graphs, and do not provide much leeway for further extension. In this paper, we develop alternate techniques that are simpler, have wider applications to near-planar graphs, and can be used to test both vertex and edge connectivity. Our technique works for all those embedded graphs where any pair of crossing edges are connected by a path that, roughly speaking, can be covered with few cells of the drawing. Important examples of such graphs include optimal 2-planar and optimal 3-planar graphs, d-map graphs, d-framed graphs, graphs with bounded crossing number, and k-plane graphs with bounded number of ×-crossings.

연구 동기 및 목표

• 평면 및 1-플레인 그래프에서의 선형 시간 연결성 알고리즘을 교차를 가진 더 넓은 범위의 임bedded 그래프 클래스로 일반화하기 위해.
• 최소 정점 및 간선 컷이 임베딩 내에서 국소적으로 농축됨을 보장하는 구조적 조건인 '릴리프 반지름'을 규명하기 위해.
• 최적의 2- 및 3-플레인 그래프, d-map 그래프, 교차 수가 제한된 그래프와 같은 near-planar 그래프 클래스에서 효율적인 연결성 계산을 가능하게 하기 위해.
• 여러 알려진 그래프 클래스를 하나의 알고리즘적 접근 방식으로 통합하는 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 평면 그래프 알고리즘의 비평면 표면(예: 토러스)으로의 확장을 탐색하고, 그 과정에서 내재된 제약 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 임bedded 그래프에서 교차점 주변의 최소 컷의 국소적 농집도를 측정하기 위한 '릴리프 반지름' 개념을 도입한다.
• 최소 컷 정점/간선이 교차점에 얼마나 가까운지를 측정하기 위해 이중 그래프 Λ(G)에서의 면거리(face-distance)를 정의한다.
• 릴리프 반지름이 유계이면, 최소 정점 컷에 속하는 모든 정점과 최소 간선 컷에 속하는 모든 간선이 Λ(G)의 유계 면지름(subgraph) 내에 존재함을 증명한다.
• 이 유계 반경 하위그래프 내에서 최소 컷을 탐색하는 매개변수화된 알고리즘을 구축하며, 국소적 구조를 활용한다.
• 멘거의 정리와 그래프 조합 기법(예: 2⌊√k⌋-정점 연결 클리크의 교차 배치)을 사용하여 정확성과 연결성 한계를 증명한다.
• 릴리프 반지름이 유계인 모든 그래프 클래스에서 알고리즘이 선형 시간 내에 실행됨을 보여준다. 이는 ×-교차 수가 제한된 k-플레인 그래프를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 그래프에서의 선형 시간 연결성 알고리즘을 교차를 가진 임bedded 그래프로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 최소 정점 및 간선 컷이 임bedded 그래프에서 국소적으로 농집됨을 보장하는 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 릴리프 반지름 매개변수는 2-플레인, 3-플레인, d-map 그래프와 같은 알려진 near-planar 그래프 클래스를 포괄하는가?
• RQ4 릴리프 반지름이 유계인 모든 그래프 클래스에서 알고리즘이 선형 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 토러스와 같은 비평면 표면에서의 일반화를 방해하는 토폴로지적 장애물(예: 표면의 위상적 제약)이 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 릴리프 반지름이 유계인 임bedded 그래프에서, 최소 정점 컷에 속하는 모든 정점과 최소 간선 컷에 속하는 모든 간선이 이중 그래프 Λ(G)의 유계 면지름 하위그래프 내에 존재함을 확립한다.
• 릴리프 반지름이 유계인 모든 그래프 클래스에서 정점 및 간선 연결성을 계산하는 선형 시간 알고리즘이 달성된다. 이는 최적의 2- 및 3-플레인 그래프, d-map 그래프, d-framed 그래프, ×-교차 수가 제한된 k-플레인 그래프를 포함한다.
• p개의 연결 간선로 연결된 두 개의 교차하는 고도로 연결된 k-플레인 그래프(R 및 B)를 구성함으로써, 최소 간선 컷이 유일하고 면거리가 매우 크다는 것을 증명함으로써, 릴리프 반지름 조건의 필수성을 입증한다.
• 이 방법은 에프스타인의 선형 시간 평면 연결성 알고리즘과 비드르 및 무랄리의 1-플레인 결과를 훨씬 더 넓은 범위의 임bedded 그래프 클래스로 일반화한다.
• 최소 컷 끝점 사이의 면거리가 큰 토러스 그래프의 예시는 릴리프 반지름 조건이 일반 표면(예: 토러스)으로 확장될 수 없음을 보여준다.
• 결과적으로, 작은 릴리프 반지름을 가진 임bedded 간선가중치 그래프에서의 가중치 간선 연결성 역시 평면 그래프 성능을 모방하는 근선형 시간 내에 계산 가능할 것임을 시사한다.