[논문 리뷰] A Partial Data Result for the Magnetic Schrodinger Inverse Problem

Francis J. Chung|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 29.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 볼록성과 같은 기하 조건 하에서, 경계의 '앞면' 주변에서 측정된 딜리클레-노이만 맵이 딜리클레 데이터가 '뒷면' 주변에 지지된 경우에만, 자기 스chrödinger 역문제에 대해 부분 데이터 유일성 결과를 확립한다. 이는 또한 역으로도 성립하며, Carleman 추정을 편미분형 수학적 변환을 통해 수정함으로써 기존의 전면 데이터 유일성 결과를 부분 데이터로 확장한다.

ABSTRACT

This article shows that knowledge of the Dirichlet-Neumann map on certain subsets of the boundary for input functions supported roughly on the rest of the boundary can be used to determine a magnetic Schrödinger operator. With some geometric conditions on the domain, either the subset on which the DN map is measured or the subset on which the input functions have support may be made arbitrarily small. This is an improvement on the partial data result in a paper by Dos Santos Ferreira, Kenig, Sjöstrand, and Uhlmann. The method involves modifying the Carleman estimate in that paper by conjugation with operators built from pseudodifferential pieces.

연구 동기 및 목표

• 자기 스chrö딩거 역문제에 대한 부분 데이터 유일성에 관한 [DKSU]에서 제기된 질문을 해결하기 위해.
• 경계의 부분집합에서 측정된 딜리클레-노이만 맵이, 보조 집합에서 지지된 함수에 제한될 경우, 자기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜을 유일하게 결정함을 확립하기 위해.
• 강한 볼록성 조건 하에서 측정 영역이나 데이터의 지지 영역을 임의로 작게 만들 수 있음을 보여주기 위해.
• 비자기 경우의 부분 데이터 결과를 자기 스chrö딩거 연산자로 확장하기 위해 정교한 반구역 분석 기법을 사용하기 위해.

제안 방법

• 자기 항을 다루기 위해 [DKSU]의 Carleman 추정을 편미분형 유사 연산자로 공액함으로써 수정한다.
• 자기 퍼텐셜을 조화 함수까지는 제거할 수 있는 게이지 변환을 사용한다.
• 특정 복소 eikonal 방정식을 만족하는 위상 함수를 갖는 복소 기하광학 해를 구성하기 위해 사용한다.
• 복소 해석 함수에 대한 적분을 통한 쌍대성 원리를 적용하여 잠재력의 차이에 관한 정보를 추출한다.
• 스토크스 정리와 복소 해석 함수의 성질을 이용하여, 잠재력의 차이가 0이 되게 하는 적분 항등식을 유도한다.
• 기원을 통과하는 평면들에 대한 조각 내기 원리를 적용하여 자기 1형식의 차이가 거의 어디서나 0이 됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 부분집합에서 측정된 DN 맵과 보조 집합에서 지지된 데이터가 알려진 경우, 자기 스chrö딩거 역문제에 대한 부분 데이터 유일성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ2 측정 영역 또는 데이터의 지지 영역을 임의로 작게 만들 수 있는 도메인의 기하 조건은 무엇인가?
• RQ3 수정된 Carleman 추정을 사용하여 부분 지식으로 DN 맵으로부터 자기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜을 복원할 수 있는가?
• RQ4 DN 맵의 게이지 불변성은 부분 데이터 복원에 어떤 영향을 미치며, 공액 기법을 통해 이를 극복할 수 있는가?
• RQ5 비자기 경우에 사용된 방법을 자기 설정으로 적응시켜 유사한 부분 데이터 유일성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 도메인이 강한 볼록성을 만족할 경우, 경계의 '앞면' 주변에서 측정된 딜리클레-노이만 맵은 입력 함수가 '뒷면' 주변에 지지된 경우 자기 퍼텐셜과 전기 퍼텐셜을 유일하게 결정한다.
• 역으로 앞면과 뒷면의 역할을 바꿔도 동일한 결과가 성립하여, 부분 데이터 설정에서 대칭성이 입증된다.
• 강한 볼록성 조건 하에서 측정 영역과 지지 영역을 임의로 작게 만들 수 있으며, 이는 최소한의 경계 접근성으로도 결과가 성립함을 의미한다.
• 복소 해석 함수를 사용한 적분 항등식과 평면을 통한 조각 내기 원리에 의해, 자기 퍼텐셜의 차이가 거의 어디서나 0이 되며, 이는 $ dW_1 = dW_2 $ 를 의미한다.
• 복소 해석 함수를 사용한 쌍대성 원리와 위상 함수의 구조를 적용함으로써 전기 퍼텐셜의 차이가 거의 어디서나 0이 되며, 이는 $ q_1 = q_2 $ 를 의미한다.
• 증명은 편미분형 유사 연산자로 공액된 수정된 Carleman 추정에 의존하며, 이는 역문제에서 자기 항을 제어할 수 있게 한다.