[논문 리뷰] A partially observed non-zero sum differential game of forward-backward stochastic differential equations and its application in finance

Jie Xiong, Shuaiqi Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전방-후방 확률 미분 방정식(FBSDE)에 의해 지배되는 부분 관측된 비제로 합 게임에서 개방 루프 내쉬 균형에 대한 최대 원리와 검증 정리를 개발한다. 각 플레이어의 제어는 그들 각자의 관측 필터레이션에 적응되어 있다. 주요 기여는 확률적 필터링을 통해 금융 응용에서 관측 가능한 투자 전략을 명시적으로 유도한 것이다. 이는 유도된 균형 조건과 결합된다.

ABSTRACT

In this article, we concern a kind of partially observed non-zero sum stochastic differential game based on forward and backward stochastic differential equations (FBSDEs). It is required that each player has his own observation equation, and the corresponding open-loop Nash equilibrium control is required to adapted to the filtration that the observation process generated. To find this open-loop Nash equilibrium point, we prove the maximum principle as a necessary condition of the existence of this point, and give a verification theorem as a sufficient condition to verify it is the real open-loop Nash equilibrium point. Combined this with reality, a financial investment problem is raised. We can obtain the explicit observable investment strategy by using stochastic filtering theory and the results above.

연구 동기 및 목표

• 전방-후방 확률 미분 방정식(FBSDE)을 포함하는 부분 관측된 비제로 합 미분 게임에서 개방 루프 내쉬 균형이 존재하는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 수립하기 위해.
• 플레이어들이 개별 관측 과정을 가지며 그들 각자의 필터레이션에 따라 제어 전략을 적응시키는 설정으로 최대 원리와 검증 정리를 확장하기 위해.
• 부분 정보 하에서 현실적인 금융 투자 문제에 이론적 프레임워크를 적용하여 관측 가능한 투자 전략을 명시적으로 도출하기 위해.
• 확률적 필터링 이론을 FBSDE 기반 게임 이론과 통합하여 동적 금융 결정에서의 불완전한 정보를 다루기 위해.
• 내쉬 균형 전략의 해법 가능성을 후방 SDE와 칼만-부치 필터링을 포함한 명시적 해를 통해 입증하기 위해.

제안 방법

• 첨도 과정과 변분 방법을 사용하여 부분 관측된 FBSDE 게임에서 내쉬 균형을 위한 필수 조건으로 최대 원리를 유도한다.
• 시스템의 볼록성과 선형성에 기반하여 후보 제어가 실제로 개방 루프 내쉬 균형임을 확인하기 위한 검증 정리를 제안한다.
• 불완전한 상태를 관측하기 위해 혁신 과정을 사용하여 관측되지 않은 상태를 추정함으로써 부분 관측 시스템을 마코프 형태로 변환하기 위해 확률적 필터링 이론을 적용한다.
• 카우쉬-프레드먼-켈리 방정식(Kushner-FKK 방정식)을 사용하여 부분 정보 하에서 첨도 과정의 조건부 기대값(예: $\widehat{p}_1(t)$, $\widetilde{p}_2(t)$))의 역학을 유도한다.
• 오차 공분산 행렬($P_1(t)$, $P_2(t)$)에 대한 결과적인 리카티 유형 방정식을 풀어 필터링 추정치를 특성화한다.
• 필터링 상태 추정치와 지수 마링갈을 포함한 형태로 명시적인 개방 루프 내쉬 균형 투자 전략 $\bar{I}_1(t)$와 $\bar{I}_2(t)$를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전방-후방 확률 미분 방정식을 포함하는 부분 관측된 비제로 합 미분 게임에 대해 최대 원리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 부분 관측된 FBSDE 게임에서 후보 제어 전략이 진정으로 개방 루프 내쉬 균형임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 확률적 필터링을 게임 이론적 제어와 통합하여 금융 시장에서 관측 가능한 투자 전략을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 각 플레이어가 개별 관측 방정식을 통해 상태 과정의 일부만 관측할 경우, 균형 전략의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 선형-제곱형 금융 응용에서 제안된 프레임워크를 사용하여 균형 투자 전략에 대한 명시적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 부분 관측된 비제로 합 FBSDE 게임에서 개방 루프 내쉬 균형이 존재하기 위한 최대 원리를 필수 조건으로 확립한다.
• 최대 원리를 만족하는 후보 제어가 볼록성과 선형성 가정 하에서 실제로 내쉬 균형임을 보장하는 검증 정리를 제시한다.
• 관측 가능한 투자 전략 $\bar{I}_1(t)$와 $\bar{I}_2(t)$는 확률적 필터링과 관련된 후방 SDE의 해를 통해 닫힌 형태로 명시적으로 도출된다.
• 첨도 과정 $\widehat{p}_1(t)$와 $\widetilde{p}_2(t)$의 필터링 역학은 혁신과 칼만-부치 유형 방정식을 통해 특성화되며, 이는 $\widehat{b^1}(t)$와 $\widetilde{b^2}(t)$를 포함한 명시적 표현으로 이어진다.
• 오차 공분산 행렬 $P_1(t)$와 $P_2(t)$는 유일한 리카티 방정식을 만족하여 필터링 추정치의 안정성과 해법 가능성 보장한다.
• 최종 균형 전략은 $\bar{I}_1(t) = \frac{1}{2}e^{\beta t}L_1^{-1}M_1\exp\left\{\int_0^t[-r(s)-\frac{1}{2}\widehat{b^1}(s)^2]ds - \int_0^t\widehat{b^1}(s)d\widehat{W}^1(s)\right\}$로 표현되며, 이는 필터링 신호와 리스크 조정된 드리프트에 의존함을 보여준다. $\bar{I}_2(t)$의 경우 동일한 형태로 유도된다.