[논문 리뷰] A particular class of solutions of a system of eikonal equations

Thierry Champion, Gisella Croce|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 03.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기울기 크기가 거의 어디서나 1인 eikonal 방정식의 해에 대해 변분적 선택 방법을 제안한다. 기울기 불연속성 집합의 하우스도르프 측도(가중 또는 비가중)에 기반한 함수를 최소화함으로써, 특정 도메인의 기하적 조건 하에서 존재성 및 유일성 결과를 확보하고, 다수의 최소화자에 대해 재귀적 선택 절차를 제공한다.

ABSTRACT

In this article we study a system of eikonal equations. Our aim is to isolate the solutions which minimise the discontinuity set of the gradient.

연구 동기 및 목표

• eikonal 방정식 시스템의 무수히 많은 해들 중에서 |∂u/∂xi| = 1 a.e. 를 만족하는 특별한 해의 집합을 식별하기 위해
• 해 집합의 볼록성이 부족하여 Lp 또는 BV 유형의 기능을 표준적으로 최소화할 수 없음을 해결하기 위해
• 부분 도함수 ∂u/∂xi의 불연속성 집합에 기반한 변분 기준을 도입하여 선호되는 해를 선택하기 위해
• 두 가지 유형의 기능에 대해 최소화자의 존재성을 입증하기 위해: (1) 점프 집합의 (N−1)-차원 하우스도르프 측도에 기반한 기능, (2) 가중 함수 h를 포함한 기능
• 해가 존재할 경우, 특히 N=1 및 N=2 차원에서 선택된 해가 점성 해와 어떻게 관련되는지 규명하기 위해

제안 방법

• 해 집합 S(Ω)를 정의: S(Ω) = { u ∈ W^{1,∞}(Ω) ∩ C₀(Ω) | |∂u/∂xi| = 1 a.e. in Ω for i=1,…,N }
• 기능 F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi}) 를 정의하여 부분 도함수의 총 점프 집합 측도를 최소화한다.
• 일반적인 도메인에 대해, h ∈ C₀(Ω), h ≥ 0 이면 F_h(v) = ∑_{i=1}^N ∫_{J_{∂v/∂xi}} h(x) dℋ^{N−1}(x) 의 가중 기능을 사용한다.
• BV 및 SBV 공간에서 컴팩턴스와 하향 연속성의 직접적 변분 방법을 적용한다.
• Theorem 6.1–6.3을 이용한 BV 및 SBV 공간에서의 순차적 컴팩턴스와 Theorem 6.4의 하향 연속성으로 최소화자의 존재성을 증명한다.
• L²-직교 기저 함수를 사용한 재귀적 선택 절차를 제안하여 F_h의 다수의 최소화자 간을 구별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 크기가 거의 어디서나 1인 eikonal 시스템의 무수히 많은 해들 중에서 유일한 해를 선택할 수 있는가?
• RQ2 ∂u/∂xi의 점프 집합의 총 (N−1)-차원 하우스도르프 측도를 최소화하는 것은 잘 정의된 변분 문제인가?
• RQ3 해가 존재할 경우, 가중 기능 F_h의 최소화자는 점성 해와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 다수의 F_h 최소화자를 추가적인 변분 기준으로 구별할 수 있는가?
• RQ5 F_h의 최소화자 집합에서 단일 해를 체계적으로 선택할 수 있는 방법이 있는가?

주요 결과

• 경계가 유한한 면들로 구성되고, 각 면의 법선이 E = {x : |x_i| = 1/√N for all i} 에 속하는 도메인 Ω에 대해, 기능 F(v) = ∑_{i=1}^N ℋ^{N−1}(J_{∂v/∂xi}) 는 S(Ω) 내에 최소화자를 가진다.
• 일반적인 리프시츠 도메인에 대해, 비가중 기능 F는 일반적으로 S(Ω)에서 무한대가 되므로, h ∈ C₀(Ω) 인 가중 기능 F_h 를 도입하고 최소화자를 가짐을 입증한다.
• N=1 또는 N=2 인 경우, F_h 의 최소화자는 점성 해가 존재할 경우 그 유일한 점성 해와 일치한다.
• F_h 의 최소화자 집합은 두 개 이상의 함수를 포함할 수 있으며, L²-직교 기저를 사용한 재귀적 선택 방법을 제안하여 단일 해를 분리한다.
• 최소화 과정은 BV 및 SBV 공간에서의 컴팩턴스에 기반하며, 도함수의 르베그 부분과 점프 부분의 약한* 수렴을 포함한다.
• 직접 방법과 점프 변동의 하향 연속성에 의해, F_h 를 최소화하는 임의의 수열은 최소화자로 수렴하는 부분수열을 가짐을 보장한다.